现代控制理论模型转换中科大中国科学技术大学.doc

二、从已有的其它数学模型出发这里所讲的其它数学模型，主要指线性系统的传递函数和动态结构图（也叫方块图）。我们在学习古典控制理论时还学习过输入输出微分方程、频率特性等数学模型，因它们可以很容易地转化为传递函数，故此处不打算一一赘述。1由传递函数求状态空间方程我们上一节曾指出线性定常系统的传递函数矩阵是现在的问题是由传递函数出发求取相应的状态空间方程，即所谓的“实现”问题。在后面第五章里将会进一步详细讲述，这里讲述一个例子，来说明由传递函数求状态空间方程的方法。例2-6 设线性定常单输入单输出系统的传递函数为(2.1)试求该系统的状态空间方程。解：引入一个新变量，它的拉氏变换式定义为即(2.3)于是，我们有(2.4)定义状态变量为 即 (2.5)显然(2.6)它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。为导出关于的等式，我们把（2.5）代入至（2.3），即可得在时域中，此即(2.7)而将（2.5）代入至（2.4）又可得到在时域中，此即(2.8)把（7.6）、（7.7）、（7.8）结合在一起即(2.9)这就是所要求的状态空间方程。要指出的是：虽然若给定一系统的状态空间方程，则该系统的传递函数是可以唯一确定的；但是，对于给定系统的传递函数求相应的状态空间方程，答案却不是唯一的。在本例中，若状态变量为 即 (2.10)则可导出系统的状态空间方程是(2.11)注：一般称系统(2.9)为下友型能控标准型，而称(2.11)为上友型能控标准型。2由动态结构图求状态空间方程例2.7 系统的方块图如图所示，求该系统的状态空间方程解：按下图方式选择状态变量（每一个积分环节的输出信号均作为状态变量，同学们想一想为什么），则从方块图中易看出并直接得到在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得到相应的时域方程，将之写成矩阵形式即也可以说系统的状态空间方程是：或其中 例2.8 系统的方块图如下，求该系统的状态空间表达式：解：题图所示方块图没有将积分环节孤立化，但注意到：故可将题图作一简单的结构图等效变换，得到：按图标方式定义状态变量易得：将之写成矩阵形式，即得系统的状态空间方程另一方面，由题图，按如下所标出的状态变量选择，可直接得到整理之，依次得到在零初始条件下拉氏反变换至时间域同样可以写成矩阵形式的状态空间方程易见，从两条道路得到了两个不同的状态空间方程。注意到，它们虽然描述的是同一个系统，但是状态变量的选择是不同的，即：，当然 写成矩阵形式，即由此可见，因状态变量选择的不同所得到的状态方程亦不相同，但两组方程却描述着同一个对象，显然这两组方程之间一定存在着某种坐标变换关系。三、状态方程的线性变换（一）坐标变换对状态空间方程的影响对下述状态空间方程表示的系统作坐标变换，考虑到坐标变换矩阵Q为满秩常系数矩阵，故存在，微分上述坐标变换式，有将之代入状态方程，并两边同时右乘，则：，于是同时，把坐标变换式代入输出方程还可得到记坐标变换后的状态空间方程为则有时，状态变量之间的坐标变换关系还可写成，注意到它与上述关系式之间的差别仅在于，