圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 知识点总结 例题习题精讲

- 1 - 课程星级： 【椭圆】 一、椭圆的定义 1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 一 个 动 点 P 到两个定点 1F 、 2F 的 距 离 之 和 等 于 常 数)2( 2121 ， 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 。 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦 点的距离叫作椭圆的焦距 。 注意： 若 )(2121 ，则动点 P 的轨迹为线段 21 若 )(2121 ，则动点 P 的轨迹无图形 。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程 （端点为 a、 b，焦点为 c） （ 1） 当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： 12222 0( 其中 222 ； （ 2） 当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： 12222 0( 其中 222 ； 2、 两种标准方程可用一般形式表示： 221或者 三、椭圆的性质 （ 以 12222 0( 知能梳理 - 2 - 1、 对称性 ： 对于椭圆标准方程 12222 0( 以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形 ； 并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、 范围 ： 椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ， 。 3、 顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆 12222 0( 标分别为 )0,(1 ，)0,(2 ),0(1 ， ),0(2 线段 21 21别叫做椭圆的长轴和短轴， 21 ， 21 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、 离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 22。 因为 )0( 所以 e 的取值范围是 )10( e 。 e 越接近 1，则 c 就越接近 a ，从而 22 越小，因此椭圆越扁； 反之， e 越接近于 0， c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， 0c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 22 。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意： 椭圆 12222 下图）： 2211 )2( 21 )2( 221 - 3 - 5、 椭圆的 第二 定义： 平面内与一个定点（焦点）和一 条 定直线（准线）的距离的比为常数 e，（ 0 e 1）的点的轨迹为椭圆（ |） 。 即： 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形 ，也 即上图中有 2211 。 焦点在 x 轴上： 12222 a b 0）准线方程： 焦点在 y 轴上： 12222 a b 0）准线方程： 6、 椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” （ 1）点00( , )P x 2 1 ( 0 )xy 的内部 2200221 （ 2）点00( , )P x 2 1 ( 0 )xy 的外部 2200221 四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程 12222 ( 12222 ( 图形 性质 焦点 )0,(1 ， )0,(2 ),0(1 ， ),0(2 焦距 21 21 范围 ， ， 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 )0,( a ， ),0( b ),0( a ， )0,( b 轴长 长轴长 = 短轴长 = - 4 - 离心率 )10( 焦半径 01 ，02 01 ，02 五、其他结论 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 1、 若0 0 0( , )P x 21上，则过00221x x y 2、 若0 0 0( , )P x 21外 ，则过 椭圆的两条切线切点为 切点弦 0221x x y 3、 椭圆 221(a b 0)的左右焦点分别为 F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F ，则椭圆的焦点角形的面积为122 t a n 2F P 4 、 椭圆 221（ a b 0 ）的焦半径公式：10|M F a e x,20|M F a e x(1( ,0) 2( ,0)0( , )M x y) 5、 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N 两点，则 6、 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, 于点 M， 于点 N，则 7、 椭圆 221的不平行于对称轴的弦， M ),(00 B 的中点，则 22O M A a ，即0202 ya B 。 8、 若0 0 0( , )P x 21内，则被 平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b - 5 - 9、 若0 0 0( , )P x 21内，则过 弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y b a b 【双曲线】 一、 双曲线 的定义 1、 第一定义： 到两个 定点 距离之差的绝对值等于定长（ |的点的轨迹（2121 2 （ a 为常数） 。 这两个定点叫双曲线的焦点 。 要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值 。 （ 2） 2a | 当 | |2a 时，曲线仅表示焦点 对应的一支； 当 | | 2a 时，曲线仅表示焦点 当 2a=|，轨迹是一直线上以 端点向外的两条射线； 当 2a |，动点轨迹不存在 。 2、 第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线 。 这定点叫做双曲线的焦点 ， 定直线 l 叫做双曲线的准线 。 二、 双曲线的标准方程 （ 222 ，其中 | 1F 2F |=2c） 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、 点与双曲线 - 6 - 2、 直线与双曲线 四、 双曲线与渐近线的关系 五、 双曲线与切线方程 六、 双曲线的性质 七、 弦长公式 1、 若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、 B，且12,、 B 的横坐标， 则 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y ， 22 2 21 2 1 2 1 21 1 4 1 |A B k x x k x x x x k a ， 若12,、 B 的纵坐标，则 21 2 1 2 1 222111 1 4A B y y y y y 。 2、 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、 B 两点，则弦长 。 3、 若弦 在直线方程设为 x ky b，则 2121 k y y。 4、 特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线 需要双曲线的详细资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 【 抛物线 】 一、 抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫做抛物线 的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 二、 抛物线的性质 三、相关定义 1、 通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦 径： |2P 2、 弦长公式 ： 21 2 1 221| | 1 | | 1 | |A B k x x y 3、 焦点弦： 过抛物线 2 2y ( 0)p 焦点 F 的弦 若 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则 - 7 - (1) |p， (2) 122p ， 12 3) 弦长 )(21 , 2121 2， 即当 x1=通径最短为 2p (4) 若 倾斜角为 ， 则 25）四、点、直线与抛物线的位置关系 需要详细的抛物线的资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 【圆锥曲线与方程】 一、 圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到 不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线 。 其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率 。 当 0 e 1 时，轨迹为椭圆 ； 当 e=1 时，轨迹为抛物线 ； 当 e 1 时，轨迹为双曲线 。 特别注意： 当 0e 时，轨迹为圆（当 ,0 时） 。 二、 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 三、曲线 与 方程 四、 坐标变换 1、 坐标变换 ： 2、 坐标轴的平移 ： 3、 中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 精讲精练 - 8 - 【 例 】 以抛物线 82 的焦点 F 为右焦点 ,且两条渐近线是 03 双曲线方程为_. 解： 抛物线 82 的焦点 F 为 )0,32( ，设双曲线方程为 22 3 9)32(34 2 ，双曲线方程为 13922 【 例 】 双曲线2224 =1(b N)的两个焦点 P 为双曲线上一点， | 5,|等比数列 ，则 _。 解：设 c,0）、 F2(c,0)、 P(x,y)， 则 |+|=2(|+|) 2(52+ 即 |+| 50+2 又 |+|=(| |2+2| 依双曲线定义，有 | |4， 依已知条件有 |=4 16+850+2 17, 又 +17， 5， 。 【 例 】 当 m 取何值时，直线 l ： y x m 与椭圆 229 1 6 1 4 4相切，相交，相离？ 解： 229 1 6 1 4 4y x 代入 得 229 1 6 ( ) 1 4 4x x m 化 简得 222 5 3 2 1 6 1 4 4 0x m x m 2 2 2( 3 2 ) 4 2 5 ( 1 6 1 4 4 ) 5 7 6 1 4 4 0 0m m m 当 0, 即 5m 时，直线 l 与椭圆相切； 当 0 ，即 55m 时，直线与椭圆相交； 当 0 ，即 5m 或 5m 时，直线与椭圆相离 。 【 例 】 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F， M 是椭圆上的任意点， |最大值和最小值的几何平均数为 2，椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 2，且 |3104，试求椭圆的方程 。 解： |MF|a+c， |MF|a c， 则 (a+c)(a c)=c2= ， 设椭圆方程为 14222 设过 2的直线方程为 y= x+m 将 代入 得： (4+a2)24 设 M1( M2( - 9 - 则 1(x1+224 x0+m=244 代入 y=x， 得2224 44 ， 由于 4， m=0， 由 知 x1+， 2244 又 |31044)(2 21221 代入 x1+， 故所求椭圆方程为：4522 =1。 【 例 】 某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 。 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 解：以拱顶为原点，水平线为 x 轴，建立坐标系， 如图，由题意知， |20， |4， A、 B 坐标分别为 ( 10， 4）、 (10， 4） 设抛物线方程为 2将 A 点坐标代入，得 100= 2p( 4)， 解得 p=12。 5， 于是抛物线方程为 25y。 由题意知 E 点坐标为 (2， 4)， E点横坐标也为 2，将 2 代入得 y= 0。 16， 从而 |=( (4)= 故最长支柱长应为 。 【 例 】 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q，且 210，求椭圆方程 。 解：设椭圆方程为 (m 0， n 0)， P( Q(由1122 得 (m+n)nx+n 1=0， =44(m+n)(n 1) 0， 即 m+n 0， 由 所以 ， 即 2x1+1=0， nm 2)1(2+1=0， m+n=2 又 2 )210()(4 nm 将 m+n=2， 代入得 mn=43 由 、 式得 m=21， n=23或 m=23， n=21 - 10 - 故椭圆方程为22x +23 或231。 【 例 】 已知圆 方程为 32012 22 圆 方程为 12222 a b 0， 离心率为22，如果 2相交于 A、 B 两点，且线段 为圆 直线 方程和椭圆 .,2,2 2,2 2 2222 得设椭圆方程为 222 ().,().,( 2211 由圆心为 2121 又 ,12,12 222222221221 相 减 ， 得 222122221 b )(2)( 21212121 1 212121 xx ) . 方程为直线即 3 将 得代入 ,123 2222 2 22 交与椭圆直线 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 由 222122121 320372242 2 b 解得 b 故所有椭圆方程 【 例 】 过点 (1， 0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、 B 两点，直线y=21x 过线段 中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程 。 - 11 - 2 1解法一：由 e=22得21222 a 从而 c=b。 设椭圆方程为 A( B(x2，椭圆上 。 则 两式相减得， (2(0，.)(2 21 2121 21 yy 设 则 002又 (直线 y=21x 上， 1于是002 1， 1， 设 l 的方程为 y= x+1。 右焦点 (b， 0)关于 l 的对称点设为 (x， y)， 1221解得则 由点 (1， 1 b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=29,169 2 a。 所求椭圆 C 的方程为 2291698 =1， l 的方程为 y= x+1。 解法二： 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 由 e=21,22 222 a ，从而 c=b。 设椭圆 C 的方程为 l 的方程为 y=k(x 1)， 将 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)42， 则 x1+2214 y1+y2=k(1)+k(1)=k(x1+ 2k=221 2 直线 l： y=21x 过 中点 (2,2 2121 )， 则222 21 22121 ， 解得 k=0，或 k= 1。 若 k=0， 则 l 的方程为 y=0， 焦点 F(c， 0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0舍去，从而 k= 1，直线 l 的方程为 y= (x 1)， 即 y= x+1， 以下同解法一 。 解法 三 ：设椭圆方程为 )1()0(12222 y 轴，否则 点在 x 轴上与直线 21中点矛盾。故可设直线)2()1( 整理得：消代入 y)1()2( )3(02)( 2222222222 - 12 - )()( 2211 ，设 ， 222 2221 2 知： 代入上式得：又 )( 2121 212 21 xx 122 22222 ak 122 222 22 222 2 ea 1的方程为直线 ， 22 2此时 ， 02243)3( 22 0)13(8)1(2416 22 33b， )4(22 222 的方程可写成：椭圆 ， 2222 又 ， )0( ，右焦点 ， )( 00 的对称点关于直线设点 ， 则 112121000000， 得：在椭圆上，代入，又点 )4()11( b 22)1(21 ， 3343 b ， 1692 b， 8921698922 【 例 】 如图，已知 P 为线段 以直线 的离心率为213的双曲线方程 。 P 1解：以 O 为原 点， x 轴建立如图所示的直角坐标系 。 设双曲线方程为2222=1(a 0， b 0)， 由 2222 )213()(1 23 两渐近线 y=23x 和 y=23x 设点 P1( 23 P2(230， 0)， - 13 - 则由点 1成的比 =21， 得 22,3 2 2121 )， 又点 P 在双曲线222294=1 上，所以222122219)2(9)2( =1， 即 ( (2=9整理得 8 ,427131241321s i n|211312491232t i ,21349|212121121212222212121121 29 由 、 得 ， 。 故双曲线方程为9422 =1。 【 例 】 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 上 索 贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 铺 .“ 龙奇迹【学习资料网】 ” 过椭圆 C： )0(12222 一动点 ： A、 A、 B 为切点，直线 x 轴， y 轴分别交于 M、 N 两点。 (1) 已知 P 点 坐标为 (并且 ，试求直线 程； (2) 若椭圆的短轴长为 8，并且1625| 2222 求椭圆 C 的方程； (3) 椭圆 C 上是否存在点 P，由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。 解： (1)设 A( B( 切线 211 ， 222 P 点在切线 ， 2020220101 直线 方程为 )0( 00200 (2)在直线 程中，令 y=0，则 M(020)；令 x=0，则 N(0，02 - 14 - 1625)(| 22220220222222 2b=8 b=4 代入 得 25， 16 椭圆 C 方程： )0(1162522 (3) 假设存在点 P(足 接 |， 四边形 正方形， |2| 22020 2 又 P 点在椭圆 C 上 22202202 由 知 )2( ba ab0 (1)当 2，即 a b 时，椭圆 C 上存在点，由 P 点向圆所引两切线互相垂直； (2)当 2 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)两点， O 为坐标原点， （ I）求椭圆 E 的方程； （ 否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 B ？若存在，写出该圆的方程，并求 |的取值范围，若不存在说明理由。 考点： 本题属于探究是否存在的问题 ,主要考查了椭圆的标准方程的确定 ,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 ,能够运用解方程组法研究有关参数 问题以及方程的根与系数关系 。 解 ： （ 1）因为椭圆 E: 221（ a,b0）过 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1)两点 , - 22 - 所以 2222421611解得 22118114 所以 2284椭圆 E 的方程为 22184（ 2）假设存在圆心 在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 B , 设该圆的切线方程为 y kx m。 解方程组 22184kx m得 222 ( ) 8x k x m ,即 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k m x m , 则 = 2 2 2 2 2 21 6 4 ( 1 2 ) ( 2 8 ) 8 ( 8 4 ) 0k m k m k m ,即 228 4 0 12 2212 24122812 ,2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 8 ) 4 8( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2k m k m m ky y k x m k x m k x x k m x x m mk k k 要使 B , 需使1 2 1 20x x y y, 即 2 2 2222 8 8 01 2 1 2m m , 所以 223 8 8 0 , 所以22 3808又 228 4 0 ,所以 22238,所以 2 83m ,即 263m或 263m , 因为直线 y kx m为圆心在原点的圆的一条切线 , 所以圆的半径为21, 222228381318 , 263r , 所求的圆为 2283,此