弹性力学-平面问题.ppt

第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 要点 建立平面问题的基本方程 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等 主主 要要 内内 容容 2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-3 斜面上的应力 主应力 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 斜方向的应变及位移 2-6 物理方程 2-7 边界条件 2-8 圣维南原理 2-9 按位移求解平面问题 1-10 按应力求解平面问题 相容方程 1-11 常体力情况下的简化 1-12 应力函数 逆解法与半逆解法 2-1 平面应力问题与平面应变问题 1. 平面应力问题 (1) 几何特征 x yy z t b a 一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。 平板 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 (2) 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用 ，沿 z 方向不变化。 x yy z t b a (3) 应力特征 如图选取坐标系，以板的中面 为xy 平面，垂直于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力，有 因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 各点都有： 由剪应力互等定理，有 结论 ： 平面应力问题只有三个应力分量： x y 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。 2. 平面应变问题 (1) 几何特征 水坝滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。 近似认为无限长 (2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 沿长度 z 方向不变化。 (3) 变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长，则沿 z 方向都不变化， 仅为 x，y 的函数 。 任一横截面均可视为对称面 水坝 因为任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面位移问题 平面应变问题 注 ： (1)平面应变问题中 但是 ， (2)平面应变问题中应力分量 ： 仅为 x y 的函数 。 可近似为平面应变问题的例子 ： 煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？ 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 3. 平面问题的求解 问题 ： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求 ： 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系 ： （2）几何学关系 ： （3）物理学关系 ： 形变与应力间的关系 。 应力与体力、面力间的关系； 形变与位移间的关系； 建立边界条件： 平衡微分方程 几何方程 物理方程 （1）应力边界条件； （2）位移边界条件； 两类平面问题 ： 平面应力问题平面应变问题 几何特征 受力特征 应力特征 几何特征 ; 受力特征; 应变特征。 上次课的主要内容： 外力、应力、形变、位移。 基本假定： （1） 连续性假定； （2） 线弹性假定； （3） 均匀性假定； （4） 各向同性假定 ； （5）小变形假定。 （注意：剪应力正负号规定） （掌握这些假定的作用） 基本概念： 2-2 平衡微分方程 P B A C x y O 取微元体PABC（P点附近）， D X Y Z 方向取单位长度。 设P点应力已知 ： 体力：X ，Y AC面： BC面： 注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。 P B A C x y O D X Y 由微元体PABC平衡，得 整理得 ： 当时，有 剪应力互等定理 P B A C x y O D X Y 两边同除以dx dy，并整理得： 两边同除以dx dy，并整理得： 平面问题的平衡微分方程 ： （2-2 ） 说明 ： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： 超静定问题，需找补充方程才能求解。 （2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用； （3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（ 钢、石料、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。 P B A C x y O D X Y 2-3 斜面上的应力 主应力 1. 斜面上的应力 （1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN x y O dx dy ds PA B s XN YN N 设P点的应力分量已知 ：斜面AB上的应力矢量: s 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦： 由微元体平衡 ： 整理得 ： （2-3） 整理得 ： （2-4） 外法线 x y O dx dy ds PA B s XN YN N （2）斜面上的正应力与剪应力 （2-3） （2-4） 将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： （2-5） （2-6） 说明 ： （1）运用了剪应力互等定理： （2） 的正负号规定 ： 将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的， 则该 为正；反之为负。 任意斜截面上应力计算公式 （3）若AB面为物体的边界S，则 （2-18） 平面问题的应力边界条件 2. 一点的主应力与应力主向 x y O dx dy ds PA B s XN YN N （1）主应力 若某一斜面上 ，则该斜面上的正应 力 称为该点一个主应力 ； 当 时，有 求解得 ： （2-7） 平面应力状态主应力的计算公式 主应力 所在的平面 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向； 由式（2-7）易得 ： 平面应力状态应力第一不变量 （2）应力主向 设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的 方向余弦为 l1、m1，则 设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2 、m2，则 应力主向的计算公式 ： （2-8） 由得 显然有 表明 ： 1 与 2 互相垂直。 结论 任一点P，一定存在两 互相 垂直的主应力1 、 2 。 （3）N 的主应力表示 x y O s dx dy ds PA B N 由 1 与 2 分别为最大和最小应力。 （4）最大、最小剪应力 由 显然，当时，N为最大、最小值： 由 得 ， max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。 x y O dx dy ds PA B N s 小结： （2-3） （2-4） （2-5） （2-6） （2-18） 平面问题的应力边界条件 （1）斜面上的应力 （2-8） 表明：1 与 2 互相垂直。 （2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力 （2-7） max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。 2-4 几何方程 刚体位移 建立：平面问题中应变与位移的关系 几何方程 1. 几何方程 一点的变形 线段的伸长或缩短 ； 线段间的相对转动 ； x y O P 考察P点邻域内线段的变形： A dx B dy u v 变形前变形后 P A B u v 注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。 x y O P A dx B dy u v PA的正应变 ： PB的正应变 ： P点的剪应变： P点两直角线段夹角的变化 x y O P A dx B dy u v 整理得： 几何方程 （2-9 ） 说明 ： （1 ） 反映任一点的位移与该点应变间的 关系，是弹性力学的基本方程之一 。 （2 ） 当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。 （积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） （3 ） 以两线段夹角减小为正，增大为负。 2. 刚体位移 物体无变形，只有刚体位移。 即： (a) (b) (c) 由(a)、(b)可求得 ： (d) 将(d)代入(c)，得 ： 或写成 ： 上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅 x 的函数，两边只能等 于同一常数，即 (d) 积分(e) ，得： (e) 其中，u0、v0为积分常数。 （x、y 方向的刚体位移），代入（d）得: (2-10) 刚体位移表达式 讨论 ： (2-10) 刚体位移表达式 （1 ） 仅有x方向平移 。 （2 ） 仅有y方向平移 。 （3 ） x y O P y x r 说明 ： P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度（刚性转动） 2-5 斜方向的应变及位移 1. 斜方向的正应变N 问题 ： 已知 ，求任意方 向的线应变N 和线段夹角的 变化。 x y O P(x,y) N 设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为 （x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的 方向余弦为： 于是PN 在坐标轴上的投影为 ： P1 N1 N 点位移 ： 变形后的P1N1在坐标方向 的投影： 设PN变形后的长度 P1N1=dr ， PN 方向的应变为N ，由应 变的定义： v u （2-11 ） 1 3. 斜方向应变公式的应用 （1 ） 已知一点的应变 ，可计算任意方向的 应变 。 的最大值、最小值。主应变、主应 变方向等。 （2 ） 已知一点任意三方向的应变 ，可求得 该点的应变分量 。 x y 45 若 用45应变花测构件表面应变： 若 用120应变花测构件表面应变，即： x y 求得该点的应变分量: 作为作业！ 2-6 物理方程 建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程 。 1. 各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义虎克（Hooke）定律。 （2-13 ） 其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收 缩系数，又称泊松比。 （1）平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 （2-15 ） 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程 注： (1) (2) 物理方程的另一形式 （2）平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中 （2-16） 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程 注： (2) 平面应变问题 物理方程的另一形式 ： 由式（2-13）第三式，得 （2-13） (1) 平面应变问题中，但 （3）两类平面问题物理方程的转换 ： （2-16 ） 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程 （2-15 ） (1) 平面应力问题平面应变问题 材料常数的转换为 ： (2) 平面应变问题平面应力问题 材料常数的转换为 ： 2-7 边界条件 1. 弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡方程 ： （2-2 ） （2）几何方程 ： （2-9） （3）物理方程 ： （2-15 ） 未知量数： 8个 方程数：8个 结论 ： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解 。 2. 边界条件及其分类 边界条件 ： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 x y O q P 是力学计算模型建立的重要环节 。 边界分类 （1）位移边界 （2）应力边界 （3）混合边界 三类边界 （1）位移边界条件 位移分量已知的边界 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可 表达为： （2-17 ） 平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件 说明 ： 称为固定位移边界 。 x y O q P （2）应力边界条件 给定面力分量 边界 应力边界 x y O dx dy ds PA B XN YN N 由前面斜面的应力分析，得 式中取 ： 得到： （2-18） 式中 ： l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方 向余弦。如： 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件 垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界： 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y