函数的单调性与最大(小)值课件.doc

1.3.1函数的单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性学习目标要求： 1.理解函数单调性的概念； 2.掌握判断函数单调性的一般方法； 3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。一、函数单调性的概念1：增函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间。(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的，如图所示：2：减函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：3：单调性与单调区间定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。思考：(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x10,减函数有0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下：取值：任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1，x2，且设x10或f(x)0，开口向上；a0，开口向下）与对称轴（-b/2a） (2)(-,4是函数的单调递减区间吗? 可能不是，可能是其子集。解： f(x)= x2+2(a-1)x+2， 此二次函数图象的对称轴为x=1-a， f(x)的单调递减区间为(-,1-a， f(x)在(-,4上是减函数， 对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合， 1-a4，解得a-3， 即实数a的取值范围为(-,-3。思考：“函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义? 前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。2、函数y=x2-2mx+3在区间1,3上具有单调性,则m的范围为 。解析:函数图象的对称轴为x=m,函数在(-,m上递减,m,+)上递增,函数在1,3上具有单调性,m1或m3.答案:(-,13,+)3、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)f(3a-2)，求a的取值范围。 解：f(1-a)f(3a-2) 解得a. a的取值范围是(,).第二课时函数的最大(小)值学习目标要求：1.理解函数的最大(小)值及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值；3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用。一、最值的概念1：最大值 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： 对于任意的，都有； 存在，使得。 那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.（2）几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标。2：最小值（1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： 对于任意的，都有； 存在，使得。 那么，我们称是函数的最小值（minimum value）. （2）几何意义：函数的最大值是图象最低点的纵坐标。思考：(1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义?“任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式f(x)M，即最大值是函数的“整体”的性质。(2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义?两层含义：一是强调最大值的属性，即它是值域中的一个元素；二是强调最大值的唯一性。(3)函数一定存在值域,那么函数一定存在最值吗?对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y=。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。(4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势,那么它与最值存在什么关系呢?若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若函数f(x)在开区间(a,b)上是增(减)函数，则f(x)在(a,b)上不存在最值，但可以说函数f(x)在区间(a,b)上的值域为(f(a)，f(b)或(f(b)，f(a)。二、求函数最值（值域）常见的方法1、观察法（数形结合法、图像法）由函数的定义域结合图象（最值的几何意义：图象最高点、最低点的纵坐标），或直观观察，准确地判断函数值域的方法。 【例1】 如图为函数y=f(x)，x-4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。解：观察函数图象可以知道： 图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(-1.5,-2) 所以函数y=f(x)，当x=3时取得最大值，最大值是3， 当x=-1.5时取得最小值，最小值是-2， 函数的单调递增区间为-1.5,3)，5,6)， 单调递减区间为-4,-1.5)，3,5)，6,7。方法小结：如何利用图象求函数最值？画出函数y=f(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例2】求函数f(x)=的最值。 解:函数f(x)的图象如图 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1，无最大值。2、单调性判定法【例3】已知函数f(x)=,x3,5，求函数f(x)的最大值和最小值。解：任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)-f(x2)=- = = = x1，x23,5且x1x2， x1-x20，x2+20， f(x1)-f(x2)0， f(x1)f(x2)， 函数f(x)=在3,5上为增函数。 当x=3时，函数f(x)取得最小值为f(3)=； 当x=5时，函数f(x)取得最大值为f(5)=。方法小结： (1) 应用单调性法求最值的时机是什么？运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法。(2) 应用单调性法求最值要注意什么？意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍。3、判别式法通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。【例4】求函数f(x)=x2-2ax-1在区间0,2上的最大值和最小值。 图1 解题分析:(1)能确定二次函数的图象吗?(开口向上，与y轴的交点是(0,-1)，对称轴不能确定)(2)函数f(x)在区间0,2上是单调函数吗？(不一定，需根据对称轴的位置进行分类讨论)解：f(x)=x2-2ax-1，对称轴为x=a (1)当a0时，由图(1)可知： f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a (2)当0a2时,由图(4)可知： f(x)min=f(2)=3-4a 图3 f(x)max=f(0)=-1 图4方法小结：(1) 如何求二次函数在闭区间m,n上的最值?定二次函数的对称轴x=a;根据am，ma，a0时，f(x)=x3+x+1，求f(x)的解析式。导引：如何把(-,0)上的未知解析式转移到(0,+)上的已知解析式？(引入一对相反变量，利用奇函数定义f(-x)=-f(x)进行转化)解:设x0,(2分)用-x替换f(x)=x3+x+1中的x,得f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.(5分)又f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).(6分)-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.当x0时,f(x)=x3+x-1.(8分)又f(x)是R上的奇函数,故f(0)=0.(10分)f(x)=思考： (1)如何利用函数奇偶性求解析式? 求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上取x； 然后要利用已知区间的解析式写出f(-x)； 利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x)； 要注意R上的奇函数定有f(0)=0。(2)解析式的表达需注意什么？ 若是求整个定义域内的解析式，各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式，此点易忽略。3函数奇偶性与单调性的关系思考：函数的奇偶性与单调性存在什么关系?函数在关于原点对称区间上有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间a,b上是增函数(减函数)，则f(x)在区间-b,-a上也是增函数(减函数)；偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间a,b上为增函数(减函数)，则f(x)