电路PPT课件第6章 分解法及单口网络.ppt

第六章第六章 一阶电路一阶电路 6-1 6-1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6-2 6-2 零输入响应零输入响应 6-4 6-4 零状态响应零状态响应 6-3 6-3 阶跃响应阶跃响应 冲激响应冲激响应 6-5 6-5 线性动态电路的叠加原理线性动态电路的叠加原理 6-6 6-6 分解和叠加方法的综合应用分解和叠加方法的综合应用三要素法三要素法 6-7 瞬态和稳态 6-8 正弦激励的过渡过程和稳态 动态元件的VCR为微分或积分形式，故线性、 时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。 分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。 本章内容概述本章内容概述 含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、 常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。 本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态 分析。分别介绍换路定律、零输入响应、零状态 响应和全响应，并推导出一阶电路在直流激励下 求解任一变量响应的一般方法 三要素法。 本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。 (1) 把给定的网络N分解为两个明确的单口网络 N1和N2 (P114 ) ； (2) 分别求单口网络 N1、N2 的VCR (4-2 )； (3) 联立VCR，求单口网络端钮上的电压 u= a 和电流 i = b ； (4) 应用置换定理，分别求单口网络N1、N2中的电压和电流 。 分解法的基本步骤分解法的基本步骤 6-1 分解方法在动态电路分析中的运用 0 u i a b u = f2(i) u = k1i+A1 网络N u = k1i+A1 N1N2 i= u= + - u = f2(i) u = k1i+A1 b N1u = a + - i = b a + - N1 置换 6-1 分解方法在动态电路分析中的运用 用戴维南定理 15V 14 uc(t) + - + - C iC + i 4 1F 2 2i 18V 0.75A + - uc(t) C iC+ - uc(t) 15 14 A 14 用诺顿定理 6-1 分解方法在动态电路分析中的运用 ROic+uC=uOC +uC=uOC ROC duC dt 初始值 uC(t0)= iC +iGO =iSC C+G0uC=iSC duC dt 初始值 uC(t0)= isc(t) G0 + - C iGO iC uc(t) uoc(t ) uc(t) R0 + - + - C iC N C uc(t) + - iC 戴维南 等效电路 诺顿 等效电路 一阶微分方程求解 dY dt - AY=BX Y(t0)=Y0 初始条件 非齐次常系数线性微分方程 齐次常系数线性微分方程 dY dt - AY= 0 Y(t0)=Y0 初始条件 求解 1. 1. 直接积分法直接积分法 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解 ，且应满足初始条件 Y(t0) = Y0， （1）解的结构：Y(t) = Yh(t) + Yp(t) 2. 2. 猜试法猜试法 有两种解法： （2）Yh(t) ：对应的齐次方程的通解 （3）Yp(t) ：非齐次方程的一个特解 一般与输入（激励）函数具有相同形式 （4）根据初始条件，确定积分常数 稳定状态: 指电路中的电压和电流在给定的条件下 已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳 定值）。稳定状态简称稳态。 瞬态（暂态）: 电路从一个稳定状态变化到另一个稳 定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的 ，这个物理过程就称为过渡过程。电路的过渡过程往 往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称 为暂态（瞬态），因而过渡过程又称为暂态过程。 过渡过程的基本概念过渡过程的基本概念 换路: 指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数 改变等。 产生过渡过程的原因：当电路中有储能元件电容或电感， 而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场 能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需 要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。 电感储存的磁场能 WL= 1 2 L iL2 不能跃变 WC= 1 2 C uC2电容储存的电场能不能跃变 本章将要分析RC和RL一阶线性电路的过渡过程， 着重讨论下面两个问题： (1) 暂态过程中电压和电流(响应)随时间的变化规律; (2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数。 设 t=0 为换路瞬间，而以 t=0 表示换路前的 终了瞬间，t =0+ 表示换路后的初始瞬间。 换路定律换路定律 由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会突 变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流 是不可能突变的。因此，电容电压和电感电流在换 路后的初始值应等于换路前的终了值，这一规律， 称为电路的换路定律。 iL(0 ) = iL(0+) uC(0 ) = uC(0+) 6-2 6-2 零输入响应零输入响应 以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应 、零状态响应和全响应。 设电路中电容电压在 t0 时的值为uC(t0)。将其分解为 一个未充电的电容 C 和一个 数值为uC(t0)的电压源的串联 。 + + 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 + uC(t) i (t) R C uC(t0) + u1(t) + + uC(t) i(t) R uOC(t) + C uC(t0) + u1(t) + tt0 + uC(t) i“(t) R uOC(t) + Cu1(t) + tt0 “ 最终得 代入初始条件 uC(0) = U0， t 0 u uC C ( (t t) ) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。 利用直接积分法 ： 故有 积分得 一阶线性常系数齐次微分方程 将解的形式 uC(t) = Kest RCsKest + Kest = 0 RCs +1 = 0 特征方程的根 （固有频率） 代入原方程得 特征方程 猜试法： （一）（一）RCRC电路的零输入响应电路的零输入响应 R C uR t=0 b a + - U0 i S uC 零输入响应零输入响应是指无电源激励， 输入信号为零，由电容元件 的初始状态uC(0+) 所产生的 响应。分析RC电路的零输入 响应，实际上就是分析它的 放电过程。 上图中，若原来开关S合于a，电容上电压已充电到U0， 在t=0时将S由a合向b， 即 uC(0)= U0 ， 根据KVL Ri + uC=0 RC d uC dt + uC =0 6-2 零输入响应 + + uC = Ae pt 上式的通解为指数函数，即 由特征方程 RCp +1=0 得 特征根（固有频率） p = 1/RC 通解 uC = Ae t /RC 确定积分常数A，由换路定律 uC(0+)=uC(0)= U0 ，得 A= U0 所以 u uC C = = U U 0 0e e t /t /RCRC u uR R = = u uC C = = U U 0 0e e t /t /RCRC e e t / RCt / RC U U0 0 R R i i = = ot U0 U0 U0 R uC uR i 变化曲线 RC d uC dt + uC =0 R C uR t=0 b a + - U0 i S uC + + ot U0 U0 U0 R uC uR i 变化曲线 u uC C = = U U 0 0e e t /t /RCRC u uR R = = u uC C = = U U 0 0e e t /t /RCRC e e t / RCt / RC U U0 0 R R i i = = R C uR t=0 b a + - U0 i S uC + + 在零输入响应电路中，各 部分电压和电流都是由初始值 按同一指数规律衰减到零。 = RC 称为RC电路的时间常数 时间常数时间常数 时间常数 = = R R C C Fs 单位 tuC /U0 (%) 36.8 213.5 34.98 41.83 50.674 60.0912 70.00454 83.7210 42 从理论上讲，电路只有在 t 时 才能衰减到零。但在工程上，通常认为 t(45) 时，电容放电过程基本结束。 时间常数 越大，衰减越慢； 时间常数 越小，衰减越快。 Ot U0 u uC C ( (t t) ) uc o t U0 0.368 U0 12 3 3 2 1 电压uC 衰减的快 慢决定于 电路的时 间常数 , 时间常数 越大，uC 衰减(电容 器放电)越 慢。 uC 随时间变化曲线 0 u U0 t 0.368U0 时间常数 =RC 当 t = 时， uC =36.8%U0 零输入响应 R C t=0 b a + - i S uc uR U0 u uR R = = u uC C = = U U 0 0e e t /t /RCRC e e t / RCt / RC U U0 0 R R i i = = 例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t0。 iC(t)=C = 3e- 20tA duC dt t0 解：uC(0)=15V RO= +3=5 36 3+6 = ROC = 50.01= 0.05S i(t)= ( 3e-20t) = 2e-20tA 6 3+6 t0 =15e- 20t V t0 3 3 6 0.01F i(t) ic uc + _ uC(t)=uC(0)e- t 15V uC 3A iC ot 求 ic(t)和i(t)，解法1： 例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t0。 解法2：应用置换定理 i(t)= ( 3e-20t) = 2e-20tA 6 3+6 t0 3 3 6 i(t) uC(t) + _ ic iC(t)= = 3e- 20tA - uC t0 RO 用电压源uC(t)置换电容C RO= +3=5 36 3+6 =15e- 20t V t0 uC(t)=uC(0)e- t 解： 3 3 6 0.01F i(t) ic uc + _ 例2 求图示电路中i(t), t0, 已知uC(0)=6V。 解:提出电容，用外加电压法求RO i1 = + u 2000 u2000i1 6000 8000i1=4u RO= = 2000 u i1 =ROC=2103s 6K 2K 1F uc(t) 2000i(t) i(t) 6K 2K 1F u 2000i1(t) i1(t ) 2K 1F uc(t) i(t) RO VuC(t)=6e - 1 2 10-3t t0 i(t)= C duC dt mA=3e - 1 2 10-3t uC(0)=6V 或：i(t)= uC(t) RO t0 例3 下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态， t=0时开关S由a点合向b点，试求: t0 时 uc、 i1 、 i2 和 i3 随时间的变化规律,画出变化曲线。 C t=0 b a + - S uC 4 2 4 8 10F + - 10V i1 i2 i3 解解: : uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V,U0=4V 换路后放电电路等效电阻 R0= ( 8 + 4/4 ) = 10 = R0 C=10 10 106 F =104 s = U0 et / uC =4e 10000t V C d uc dt i2= i1 = i3 = i2 / 2 = 0.4e 10000tA = 0.2e 10000tA o t uc 4V i u i2 0.4A i1 i3 0.2A uC = 4e 10000t V C b a + - S uC 4 2 4 8 10F + - 10V i1 i2 i3 （二）（二） RLRL电路的零输入响应电路的零输入响应 R t=0 b a U iL S uL uR S合在位置a时,电感中通有 电流, t=0时, 开关S由位置 a合向位置b, RL电路被短路。 若iL(0-)= I0，则iL(0+)= I0 (若换路前电路已处于稳态, 则I0=U/R ) 根据KVL uL + uR=0 + RiL= 0 diL dt L + - 齐次常系数线性微分方程通解为 iL= Ae pt + - + - 特征方程是 Lp + R=0 特征根(固有频率): p = R/L 微分方程的通解为 iL(0+)=I0 , 故A= I0在t = 0+时, 所以 iL = I0 e t R L = I0 e t 时间常数时间常数 =L / R = GL 单位 秒 亨 欧姆 = Ae t R L iL= Ae pt 变化曲线 iL I0 t 0 iL 0.368I0 + RiL= 0 diL dt L 通解为 iL= Ae pt R t=0 b a U iL S uL uR + - + - + - iL = I0 e t R L = I0 e t uR=R iL = R I0 e t diL dt uL =L = R I0 e t RI0 uR RI0 uL ot u R t=0 b a U iL S uL uR + - + - + - iL iL I0 t 0 0.368I0 根据KVL uL + uR=0 0.368RI0 t=0 S R L uV iL V + 2 4V 例4 已知电压表的内阻RV=1000 , 求uV(0+)。 解: iL(0+)= iL(0-) =4/2=2A uV(0+)= iL(0+) RV =2 1000=2000V 因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将 电压表取下! 以免引起过电压而损坏电压表。 4. 一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，又 称为固有响应，特征根 s=1/又称为固有频率。 2. 一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的 快慢由时间常数决定，越小，衰减越快。 3. 求出uC(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为uC(t)的电 压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感， 在置换后的电路中求其他电压电流。 5. 线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数， 即初始状态增大 k 倍，零输入响应也增大 k 倍。 零输入响应小结 1. 一阶电路的零输入响应 RC电路： t0 =RC uC(t)=uC(0)e- t RL电路： t0 = = GL L R iL(t) = iL(0)e- t 6-3 阶跃响应 一.阶跃函数 .单位阶跃函数 2.延时单位阶跃函数 0 t t0 (t t0) 1 0 t 1 (t ) 0 t0 (t )= 0 tt0 二.用单位阶跃函数表示电源的接入 若电源在t = t0时接入电路 uS(t) = US (t - t0) iS(t) = IS (t - t0) 任一信号在t =0时接入电路 uS(t) = f(t) (t) a b Nus(t) t =0时，开关由b a uS(t) = US N us(t) uS(t) = US (t ) 6-3 阶跃响应 三.阶跃信号、阶跃响应 1.阶跃信号 2.阶跃响应 单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用 (t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。 uS(t) = US (t) 阶跃信号 uS(t) =US (t - t0) 延时信号 0 t us UsUs 0 t us t0 四.分段常量信号作用下一阶电路的求解 0 1 t f(t) 1 0 t f1(t ) 1 1 f(t) = f1(t)+ f2(t)= (t) - (t-1 ) 0 t f2(t ) -1 1 0 t f(t) 1 2 3 -1 1 -2 f(t) = (t) - 2 (t-1 )+3(t-2)-2(t-3) （一）（一）RCRC电路的零状态响应电路的零状态响应 零状态响应零状态响应是指换路前电容元件未储有能量, uC(0)=0, 由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状 态响应，实际上就是分析它的充电过程。 下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一个 阶跃电压u，其表示式为 u= 0 t 0 o U u t 阶跃电压 6-4 零状态响应 R C uR t=0 b a + - Ui S uC + - + - 根据KVL，列出t 0时电路的一阶线性非齐次常微分方程 Ri + uC = U RC duC dt +uC =U 设特解 uC=K 代入上式 RC d K dt + K =U 得 K=U ， 即 uC=U uC=Ae pt= Ae t /RC 补函数uC是齐次微分方程RC duC dt +uC =0 的解 式(6.1)的通解为 uC = uC+ uC=U+ Ae t /RC 上式的通解有两个部分：一个是 特解 uC，一个是补函数uC ( 6.1 ) R C uR t 0 b a + - U i S uC + - + - uC = uC+ uC=U+ Ae t /RC 根据 uC(0+)= uC(0)=0，可确定积分常数 A= U uC =U Ue t /RC =U(1et /) 时间常数 =RC 当 t = 时， uC =63.2%U t uC u O U uC U uC 暂态过程中uC可视为由 两个分量相加而得: uC是到达稳定状态时的 电压,称为稳态分量; uC仅 存于暂态过程中, 称为暂态分 量,它总是按指数规律衰减。 63.2%U uC的变化曲线 e -t/RC U R = uR = Ri = U e -t/RC ot U uC uR ui i U R i = C duC dt uC =U(1e t / ) uC 、 uR及i 的变化曲线 R C uR t 0 b a + - U i S uC + - + - uC =U(1e t / ) t U 1 et / uC 2 3 4 5 1e 1 1e 2 1e 3 1e 4 1e 5 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 同样可认为t (45) 以后暂态过程已经结束。 t uC u 0 U 63.2%U R C uR t 0 b a + - U i S uC + - + - 上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较 复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一 个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化 简为戴维南等效电源，再将储能元件接上），然后利 用经典法所得出的公式。 例7.8 下图所示电路中，已知：R1=3k， R2=6k ， C1= 40 F， C2= C3= 20 F ，U=12V,开关S闭合前,电路 已处于稳态，试求: t 0 时的电压 uC 。 t=0 + - U S R1 R2 C1 C2 C3 + uC 解：解： C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为 C= =20 F C1(C2 + C3) C1 +(C2 + C3) 将t 0的电路除C以外的部分化为戴维南等效电源, E= =8V UR2 (R1+ R2) 等效电源的内阻为R0= = 2k R1 R2 (R1+ R2) R0 C + uC + - E t 0 + - U S R2C + uC R1 等效电源的电动势为 R0 C + uC + - E 由等效电路可得出电路的时间常数 = R0 C=2 103 20 106 =40 103s uC=E(1 e -t/ ) =8(1e 25t )V 输出电压为 t uC /V 8 O （二）（二）RLRL电路的零状态响应电路的零状态响应 R t=0 UiL S uL uR 在换路前电感元件未储有 能量，即电路处于零稳态。 + 在 t =0时，将开关S合上， 电路即与一恒定电压为U 的电压源接通。 根据KVL uL + uR=U + RiL= U diL dt L 特解 iL就是稳态分量 (7.2) iL= U R 补函数 iL= Ae t R L 式(7.2)的通解为 iL = iL + iL= U R + Ae t R L 在 t =0时，iL(0+)= iL(0-)=0 + A=0 U R A= U R iL = (1 U R e ) t uR uL U diL dt uL =L = Ue t uR=R iL = U(1 e ) t iL ot u iL U R iL U R o t iL 变化曲线 4. 一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大k 倍，零状态态响应应也扩扩大k倍，如有多个电压电压 源作用，也可 用叠加定理来求零状态态响应应。 2. uC(t)、iL(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升 ，越小，上升越快。 3. 求出uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为uC(t) 的电压源置换，电感用电流值为iL(t)的电流源置换，在置 换后的电路中求其它电压和电流。 5. 如果是非直流激励电电路，则则需列微分方程求解。 1.恒定输入（直流激励）下一阶电路的零状态响应 RC电路 = RC uC(t) = uC() (1-e) t0 - t RL电路 iL(t) = iL() (1-e) t0 t - = = GL L R 零状态响应小结 例5 下图所示电路中,已知：R1= R2= 1k， L1=15mH ， L2= L3=10mH ，(设线圈间无互感,)电流源 I=10mA,开关S 闭合前,各电感均未储有能量,试求: t 0 时的电流 i。 t=0 S i IR1 R2 L1 L2L3 解: 等效电感 L= L1+ L2 L3 L2 + L3 =10mH 将电流源与R1并联的电路进行等效变换 E=R1I=10V R0 =R1= 1k t=0 S i R0 R2 L + E 由等效电路可得出 电路的时间常数 = L R0 + R2 =10 s i = (1 e ) t E R0 + R 2 =5(1 e -10 t ) mA 5 t i 5 o i/mA 等效电路 （一）（一）RCRC电路的全响应电路的全响应 全响应全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均 不为零时电路的响应，也就是零输入响应零输入响应和零状态响应零状态响应 的叠加。 下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态, 则 uC(0)= U0 ， t=0时将S由b合向a， t 0时电路 的微分方程为 R C uR t=0 b a + - Ui S uC + - U0 t 0 RC duC dt +uC =U 其通解有两个部分: 一个 是特解 uC， 一个是 补函数uC 通解 uC = uC+ uC 6-5 线性动态电路的叠加定理 R C uR t=0 b a + - Ui S uC + - U0 t 0RC duC dt +uC =U 通解 uC = uC+ uC =U+ Ae t /RC uC(0+)= uC(0)= U0 积分常数 A=U0Ut= 0+时, U0=U+A e0 uC = U+ (U0U) e -t/ 全响应=稳态分量+暂态分量 uC = U0 e -t/ + U(1e -t/) 或者写成 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 一阶线性非齐次常微分方程 (三要素法) 全响应曲线 o t U u U0 稳态分量U uC(全响应) uC = U+ (U0U) e -t/ 设U U0 U0 U 暂态分量 (U0U) e -t/ o t U u U0 uC = U0 e -t/ + U(1e -t/) uC(全响应) 零状态响应 零输入响应 或 全响应曲线 o t U u i UU0 R U0 稳态分量U uC(全响应) uC = U+ (U0U) e -t/ 设U U0 U0 U 暂态分量 (U0U) e -t/ 求出uC后,可用 和 uR =R i得i = C duC dt U U0 R i =e -t/ uR =(U U0) e -t/ uR + - U R C t=0 b a i S uC + - U0 t = 0 uC uC随时间变化曲线 0 u U0 t U （2）当U0U 时， t uC U 0 u uC随时间变化曲线 U0 （1）当U0U 时， S C R t=0 + U 2 1 + uR + uC i + U0 这种由外加激励和初始 储能共同作用引起的响应, 称为RC电路的全响应。 放电过程 充电过程 若U=0，在t=0时将开关S 由1合到2 的位置，如右图。这时 电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初 始储能引起的，故称为RC电路的零输入响应。 电容两端的电压uc由初始值U0向稳态值零衰减， 这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为 S C R t=0 + U 2 1 + uR + uC i + U0 全响应 uC = U0 e -t/ + U(1e -t/) 或 若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)= U0=0 ，则 上式变为 这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应， 常称为RC电路的零状态响应，这是电容的充电过程。 S C R t=0 + U 2 1 + uR + uC i + U0 全响应 uC = U0 e -t/ + U(1e -t/) 或 uC 随时间变化曲线 0 u U0 t 0.368U0 时间常数 =RC 当 t = 时， uC =36.8%U0 零输入响应 t uC U 0 u 时间常数 =RC 当 t = 时， uC =63.2%U 0.632U 随时间变化曲线 零状态响应 （二）（二）RLRL电路的全响应电路的全响应 R t=0 UiL S uL uR + R0 如图所示电路中， iL(0-)= I0 在 t =0时，将开关S合上，则 t 0时电路的微分方程为 + RiL= U diL dt L 通解也为 iL = iL + iL= U R + Ae t R L 但积分常数A与零状态时不同, 在 t =0时，iL(0+)= iL(0-)=I0 ， A= I0 U R 所以所以全响应为全响应为iL = +(I0 ) U R e t U R (6.5.3) iL = +(I0 ) U R e t U R 全响应=稳态分量+暂态分量 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 上式可改写为 +(1 U R e ) t iL = I0 e t o t U/R I0 iL(全响应) 零状态响应 零输入响应 式(6.5.3)中,将电感电流的稳态分量 U/R 用 i i L L ( ( ) )表示得 i i L L( (t t) ) = = i i L L ( ( ) ) + + i i L L (0(0 + + ) ) i i L L ( ( ) ) e e - - t/ t/ 稳态值 初始值 时间常数 (三要素法) 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的 线性电路，称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶 常系数线性微分方程。 对于一阶线性电路，在直流激励作用下，电路的 响应是由稳态分量(包括零值)和暂态分量两部分相加 而得，写成一般式子，则为 f (t) = f ( t ) + f ( t ) = f () +Ae t / 式中f (t)是电压或电流， f ()是稳态分量(即稳态值), Ae t /是暂态分量,若 f(0+)为初始值,则得A= f(0+) f () 于是 f f ( (t t) ) = = f f ( ( ) ) + + f f(0(0 + + ) ) f f ( ( ) ) e e - - t/ t/ 稳态值 初始值 时间常数 6-6 分解方法和叠加方法的综合运用三要素法 三要素法 直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的， 它们的变化无非四种情况。 0 t f(t) f() 0 t f(t) f( 0+ ) f(t) = f() (1- e ) t0 - t f(t) = f(0+) e t0 - t 0 t f(t) f ( ) f( 0+ ) f( 0+ ) 0 t f(t) f() 对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出 这三个要素，就可画出它的波形并写出表示式，这就是三 要素法。 三个参数（三要素） f(0+)、f()、 f(t) = f(0+) + f() - f(0+) (1-e) t0 - t f(t) = f() + f(0+) - f() et0 - t 一.求初始值 f(0+) 1.先求uC(0-)、iL(0-) 2.做t = 0+时等效电路 C用电压值等于uC(0+)的电压源置换 L用电流值等于iL(0+)的电流源置换 二.求稳态值 f() 3.在t = 0+的等效电路中求各初始值 在t =的电路中求 f() C开路 L短路 三.求时间常数 求动态元件两端看进去戴维南等效电阻： RC电路：=ROC RL电路：=L/RO 三要素法 例6 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t 0及开关动作后瞬间4电阻 上吸收的功率。（15分） 10V 4 t=0 i1(t) 0.1F uC(t ) 10V 2 6 2 i(t) S1 S2 uC (0+)=uC(0-)= 10V=5V 2+4 2+4+6 i(0+) t=0+时的电路 10V i1(0+ ) i2(0+) 22 4 uc(0+) i(0+) + i2(0+) = i1(0+) 2i(0+) + 4 i1(0+) =10 2i2(0+) +4 i1(0+) = uc(0+) 解方程得 i(0+) =2A, i1(0+) =1.5A 开关动作后瞬间4电阻上吸收的功率 p =4 i12(0+)=41.52 = 9W 例11 图示电路中t=0时开关S1闭合，S2打开。已知开关动 作前电路处于稳态，求i(t), t 0及开关动作后瞬间4电阻 上吸收的功率。（15分） 10V 4 t=0 i1(t) 0.1F uC(t ) 10V 2 6 2 i(t) S1 S2 （2）求i() （3）求 i(t) = i() + i(0+) - i() e - t 解：(1) i(0+)=2A i()= = A 10V 2+4 5 3 R0= 2+ 2/4 = 3 10 = R0C= S 3 1 i(t)= +( 2 )e 3t = + e 3t A t 0 3333 5551 （注意： 一定要在换路后的电路中求 ） 例12 图示电路中，开关S闭合前,电路已处于稳态， C=10F, t=0时，将开关S闭合，经0.4ms再将S打开， 试求 t 0 时的 uC(t), 画出变化曲线。 30 Rr _ + _ + S 60 R E=90V C uC r 解解: : (1) uC(0+)= uC(0 )= E = 60V R+r r E (2) uC (0.4ms) = 30 (1+e -1 ) = 41V uC() = = 30V R + r RE rE =2 ( R r )C = 0.4 ms u uC C ( (t t) ) = = 30 (1+30 (1+ e e - - 25002500 t t ) V) V (0 t 0.4ms) 即为第二个暂态过程的初始值 u uC C ( (t t) ) = = 60 60 + + (41 60) (41 60) e e - - 20002000 ( ( t t - - 0.40.4 10 10 - - 3 3 ) ) = ( r +R r ) C =0.5 ms = = 6060 19 19 e e - - 20002000 t t + + 0.8 0.8 V V uC()=60V (0.4ms t ) 30 60 41 0.4 t / ms 0 uC /V 变化曲线 30 Rr 90V _ + _ + S 60 R E C uC r 第1次作业：6-1 6-21 6-23 第2次作业: 6-4 6-9 6-29 6-31 第 6 章作业 第3次作业: 6-34 6-36 6-39 6-40 例7.14 图示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态， t=0时开关S由a点合向b点，试用三要素法求: t0 时 uc、 i1 、i2 和 i3 的变化规律, 画出变化曲线。 C t=0 b a + - S uC 4 2 4 8 10F + - 10V i1 i2 i3 解解: : uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V, u uC C ( ( ) ) =0 换路后放电电路等效电阻 R0= ( 8 + 4/4 ) = 10 = R0 C=10 10 106 F =104 s =4e 10000t V u uC C ( (t t) ) = = u uC C ( ( ) ) + + u uC C (0(0 + + ) ) u uC C ( ( ) ) e e - - t/ t/ C d uc dt i2= i1 = i3 = i2 / 2 = 0.4e 10000tA = 0.2e 10000tA o t uc 4V i u i2 0.4A i1 i3 0.2A uC = 4e 10000t V C b a + - S uC 4 2 4 8 10F + - 10V i1 i2 i3 f f ( (t t) ) = = f f ( ( ) ) + + f f(0(0 + + ) ) f f ( ( ) ) e e - - t/ t/ 6-7 阶跃响应及分段常量信号响应 一.阶跃函数 .单位阶跃函数 2.延时单位阶跃函数 0 t t0 (t t0) 1 0 t 1 (t ) 0 t0 (t )= 0 tt0 二.用单位阶跃函数表示电源的接入 若电源在t = t0时接入电路 uS(t) = US (t - t0) iS(t) = IS (t - t0) 任一信号在t =0时接入电路 uS(t) = f(t) (t) a b Nus(t) t =0时，开关由b a uS(t) = US N us(t) uS(t) = US (t ) 6-7 阶跃响应及分段常量信号响应 三.阶跃信号、阶跃响应 1.阶跃信号 2.阶跃响应 单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用 (t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。 uS(t) = US (t) 阶跃信号 uS(t) =US (t - t0) 延时信号 0 t us UsUs 0 t us t0 四.分段常量信号作用下一阶电路的求解 0 1 t f(t) 1 0 t f1(t ) 1 1 f(t) = f1(t)+ f2(t)= (t) - (t-1 ) 0 t f2(t ) -1 1 0 t f(t) 1 2 3 -1 1 -2 f(t) = (t) - 2 (t-1 )+3(t-2)-2(t-3) 方法1. 把分段常量信号分解为若干个阶跃信号之 和，各阶跃信号分量单独作用于电路，由叠加定 理求出电路的零状态响应。如果初始状态不为零 ，再加上零输入响应。 方法2. 把分段常量信号作用于电路的时间分为若 干个子区间，每一区间内输入信号为一常量。用三 要素法求每一子区间的响应，即按时间分段求解。 在求解过程中，注意每一子区间初始值的计算。 四.分段常量信号作用下一阶电路的求解 例7.16 已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0, 求：uC(t) , t0 解法1：把iS(t)分解成两项，分别求零状态响应 iS(t) = iS (t) + iS(t) =IS (t) IS (t t0) IS 0t iS(t) t0 C R is(t) uC(t) + iS (t)作用 ： uC (t) = RIS(1e ) (t)RC - t iS(t)作用：uC(t) = RIS1e (t - t0) RC - 1 (t-t0) iS(t)作用，应用叠加原理，得到 uC(t) = uC(t) + uC(t