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第一章 空间几何体 知识点1：棱柱的结构特征 棱柱：一般地，有两个面_，其余各面都是 _,并且每相邻两个四边形的公共边都_,由 这些面所围成的多面体叫棱柱。 互相平行 四边形互相平行 D A B C E F F A E D B C 侧棱 侧面 底面 顶点 棱柱中，两个_叫底面互相平行的面 简称_；其余各面叫做_； 底侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的 _； 侧棱 侧面与底面的_叫做顶点公共点 知识点1：棱柱的结构特征 底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别 叫做 _、_、_。 三棱柱 四棱柱五棱柱 我们用表示_，如图所示的六棱柱表 示为_ 底面各顶点的字母 棱柱ABCDEF-ABCDEF 直棱柱：_的棱柱叫做直棱柱侧棱与底面垂直 正棱柱：_的直棱柱叫做正棱柱底面是正多边形 知识点1：棱柱的结构特征 例：下列几何体哪些是棱柱？_ （1 ）（2 ） （3 ） （4 ） （5 ） （6） （7） 解析：考查 棱柱的定义 （1）（3）（5 ） 知识点1：棱柱的结构特征 练习1：以下说法中正确的是_.(填序号) (1)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱 (2)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做 棱柱 (3)有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱; (4)用一个平面去截棱柱,底面与截面之间的部分组成的几 何体是棱柱. 知识点1：棱柱的结构特征 解析：说法(1)不满足侧面是平行四边形,反例如图1 说法(2)不满足侧棱互相平行,反例如图2 图1图2 说法(4)不能保证底面和截面平行,故只有说法 (3)正确.故填(3). 知识点2：棱锥的结构特征 一般地，有一个面是_,其余各面都是有一个公 共顶点的_，由这些面所围成的_叫棱 锥。 多边形 三角形 多面体 这个多边形面叫做_或_棱锥的底面底 _叫做棱锥的侧面有公共顶点的各个三角形面 _叫做棱锥的顶点 各侧面的公共顶点 _叫做棱锥的侧棱 相邻侧面的公共边 底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做_ 、 _、_,其中_又叫四面体 三棱锥 四棱锥五棱锥三棱锥 棱锥也用表示顶点和底面各顶点的_表示，如图 所示四棱锥表示为_ 知识点2：棱锥的结构特征 字母 S-ABCD S 顶点 侧面 侧棱 底面 A B C D 正棱锥：如果一个棱锥的底面是_ 并且顶点在底面上的_是_ 这样的棱锥叫_ 正多边形 射影 底面的中心 正棱锥 正四面体：_的棱 锥叫做正四面体，侧面和底 面都是_ 各棱长均相等 等边三角形 知识点2：棱锥的结构特征 例：下列说法正确的是_. 一个棱锥至少有四个面； 如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四 条侧棱都相等； 五棱锥只有五条棱； 用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角 形和底面三角形相似 解析：主要考查棱锥的结构特征 答案： 知识点2：棱锥的结构特征 练习：有下面五个命题： （1）各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； （2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥； （4）正四面体就是正四棱锥； （5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又 是底面多边形的外心的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底 面是正多边形，也不能保证顶点在底面内的射影是底 面的中心，故不是正棱锥，如图（1）中的三棱锥S ABC，可令SA=SB=BC=AC=3，SC=AB=1，则此三 棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三 棱锥，故（1）错误； 知识点2：棱锥的结构特征 如图（2）中的三棱锥SABC，可令SA=SB=BC=1， AB=AC=，BC=1，三条侧棱都相等，但不是正三棱锥 ，故（2）错误； 命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底 面内的射影不一定是底面的中心，如图（3），从正 方体中截取一个四棱锥D1ABCD，底面是正方形， 但不是正四棱锥，故（3）错误； 知识点2：棱锥的结构特征 命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥，三棱锥共有4 个面，所以也叫四面体，故（4）错误 命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形 的内心，又是底面多边形的外心”，说明底面是一个正 多边形，故（5）正确 答案：A 知识点2：棱锥的结构特征 知识点3：棱台的结构特征 棱台：用一个_的平面去截棱锥， _的部分，这样的多面体叫_，原棱 锥的底面和截面分别叫做棱台的_和_ 平行于棱锥底面 底面和截面之间 棱台 下底面上底面 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做_ 、 _、_,如图所示，四棱台表示为_ _ 三棱台 四棱台五棱台 棱台ABCD-ABCD A B C D A B C D 下底面 侧棱 上底面 侧面 顶点 知识点3：棱台的结构特征 例：判断下列几何体是不是台体，并说明为什么 点拨：台体是由平行于棱锥和圆锥底面的平面截得的截 面和底面之间的几何体，台体有两个明显的结构特征： 一是所有的侧棱或母线延长相交于一点；二是截面与底 面是平行的相似形 解：(1)不是台体，因为各侧棱延长后不交于同一点， 不是由棱锥截得； (2)不是台体，因为截面与底面不平行； (3)不是台体，理由同(2) 知识点3：棱台的结构特征 知识点3：棱台的结构特征 练习：下列三种叙述,其中正确的有 (1)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱 台. (2)两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱 台. (3)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体 是棱台.( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 知识点3：棱台的结构特征 点拨：利用棱台的定义和结构特征知,棱台的两个底面互 相平行,而且侧棱延长线交于一点 解：(1)不正确,因为根据棱台的定义,要求棱锥底面和截 面平行. (2)不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交与一点. (3)不正确,因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后 交与一点. 综上,三个命题全部不正确, 故选 A. 知识点4：圆柱的结构特征 以_ 为旋转轴，_旋转 形成的面所围成的_叫做圆柱，_叫圆柱 的轴，_ 叫做圆柱的底面 ；_ 叫做圆柱的侧面； _叫做圆柱侧面的母线。 圆柱和棱柱统称为_ 矩形的一边所在直线 其余三边 旋转体旋转轴 垂直于轴的边旋转而成的圆面 平行于轴的边旋转而成的曲面 不垂直于轴的边 柱体 如图：圆柱表示为_ 圆柱OO 知识点4：圆柱的结构特征 例：下列7种几何体哪些是棱柱和圆柱？ 点拨：主要考查棱柱和圆柱的结构特征 解：棱柱为def;圆柱为a 知识点4：圆柱的结构特征 练习：下列四种说法： 在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点 的连线是圆柱的母线； 圆柱的两底面全等； 圆柱的轴有无数条； 圆柱的任意两条母线相互平行. 其中正确的是_ 点拨：考查圆柱的结构特征 答案： 知识点5：圆锥的结构特征 以_为旋转轴,_ _形成的面所围成的_叫做圆锥 直角三角形的一条直角边所在直线 其余两边旋转旋转体 _和_统称为锥体 棱锥圆锥 如图，圆锥表示为_ 圆锥SO 知识点5：圆锥的结构特征 例：根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体 的名称： （1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的 五边形，其他面都是全等的矩形； （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转 180形成的封闭曲面所围成的图形 点拨：考查多面体和旋转体的结构特征 答案：（1）直五棱柱 （2）圆锥 知识点5：圆锥的结构特征 练习：以下命题： 直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 ； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 ； 圆柱、圆锥的底面都是圆； 其中正确命题的个数为( ) A.O B.1 C.2 D.3 点拨：主要考查圆柱和圆锥的结构特征 答案：C 知识点6：圆台的结构特征 用_的平面去截圆锥，_ 之间的部分叫做圆台。 _与_统称为台体 O O 平行于圆锥底面底面与截面 棱台 圆台 如图圆台可以表示为_圆台OO 知识点6：圆台的结构特征 例：下列四种说法： 在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点 的连线是圆柱的母线； 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母 线； 在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆台的母线； 圆柱的任意两条母线相互平行. 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 点拨：圆锥和圆台 的结构特征 答案：D 知识点6：圆台的结构特征 练习：以下命题： 直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆 锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆 锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A.O B.1 C.2 D.3 点拨：考查旋转体的结 构特征 答案：B 知识点7：球的结构特征 以_所在直线为旋转轴，_旋转 一周形成的_叫做球体，简称_。_叫 做球心，_叫球的半径，_叫球的 直径 如图所示，球表示为_ 半圆的直径半圆面 旋转体球半圆的圆心 半圆的半径 半圆的直径 球O 知识点7：球的结构特征 例：正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示 ，则截面可能的图形是( ) A.B.C.D. 点拨：本题主要考查截面问题，关键考虑过球心的 正方体截面位置的可能情形 解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得， 当截面过正方体的体对角线时得，当截面平行于正方 体的一个侧面时得，但无论如何都不能截出， 故答案为：C 练习：如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球， 则经过球心的一个截面图形可能是 ( ) A. B. C. D. 知识点7：球的结构特征 知识点7：球的结构特征 点拨：本题主要考查截面问题，关键考虑过球心的 正方体截面位置的可能情形 解：正确，截面过三棱锥底面的一边； 错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心； 正确，为截面平行于三棱锥底面； 错误，截面圆不可能过三棱锥的底面. 故选A。 知识点8：空间几何体的三视图 由于光的照射，在_物体后面的屏幕上可以留 下这个物体的_,这种现象叫投影。我们把光线叫 _，把留下物体影子的屏幕叫做_。 不透明 影子 投影线投影面 我们把光由_向外散射形成的_，叫中心投影一点投影 我们把在一束_照射下形成的_，叫做 _。平行投影的投影线是_，在平行投影 中，投影线_投影面时，叫做正投影，否则叫做 斜投影。 平行光线投影 平行光线 平行的 正对着 知识点8：空间几何体的三视图 光线从几何体的_正投影得到的投影图叫做 几何体的正视图 光线从几何体的_正投影得到的投影图叫做几 何体的侧视图 光线从几何体的_正投影得到的投影图叫做几 何体的俯视图 前面向后面 左面向右面 上面向下面 几何体的_、_、_统称为几何体的三视图 正视图 侧视图 俯视图 知识点8：空间几何体的三视图 例1. 如图所示的长方体的长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm，画出这个长方体的三视图。 5cm 3cm 4cm 5cm 3cm 3cm 4cm 5cm 4cm 正视图 侧视图 俯视图 正侧高平齐 俯 侧 宽 相 等 正 俯 长 对 正 5cm 3cm 4cm 总结提升: “长对正”， “高平齐”， “宽相等”. 知识点8：空间几何体的三视图 知识点8：空间几何体的三视图 练习1：画出下列几何体的三视图 解析：主要考查空间几何体三视图 答案：（1 ） （2） 知识点8：空间几何体的三视图 知识点8：空间几何体的三视图 练习2：观察下列几何体的三视图，想象并说出它们的 几何结构待征，然后画出它们的示意图 知识点8：空间几何体的三视图 （1）是底面为直角梯形的直四棱 柱；如图（1）所示； 解 ： （2）是上部为半球体，下部为圆 锥体的组合体，如图（2）所示； 知识点8：空间几何体的三视图 （3）是上部为小球体，下部为正四棱柱 的组合体，如图（3）所示； （4）是上、下两个全等的圆台的组合 体，如图（4）所示 知识点9：空间几何体的直观图 要画空间几何体的直观图，首先要学会_的平面 图形的画法。对于平面多边形，我们常用_ 画它们的直观图，_是一种特殊的_ 画法。 水平放置 斜二测画法 斜二测画法 平行投影 斜二测画法步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交 于点O。画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两 轴交点O，且使xOy=_，它们确定的平面 表示水平面。 45。或135。 知识点9：空间几何体的直观图 （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中 分别画成_与x轴或y轴的线段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 _，平行于y轴的线段，长度为_ 。 平行 原长度不变原来一半 知识点9：空间几何体的直观图 例：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 解析：（1）以正六边形的中心为原点建立如图（1） 所示的直角坐标系xOy，再建立如图（2）所示的坐 标系xOy，使 （2）在x轴上取AO=OD= 在y轴上取OG=OH，且 以H为中点画FE平行于x轴，且等于 FE；再以G为中点画BC平行于x轴， 且等于BC (3)连接AB，CD，DE，FA ，所得六边形ABCDEF就是 正六边形ABCDEF的直观图 知识点9：空间几何体的直观图 知识点9：空间几何体的直观图 练习1：利用斜二测画法得到的三角形的直观图是三 角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形 的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形。以上结论 ，正确的是（ ）。 A B C D 点拨：考查直观图 解：斜二测画法会使直观图中的角度和沿垂直于水平线 方向的长度与原图中不相同，而平面多边形的边数不会 改变，并且在原图中相等的多个角度。 知识点9：空间几何体的直观图 在直观图中依然相等，故三角形的直观图还是三角形 ；由于平行四边形的两组对角在原图中和直观图中都 相等，故平行四边形的直观图还是平行四边形。但由 于角度改变，正方形的直观图变为不包含直角的平行 四边形；由于长度的变化，菱形的直观图也变为邻边 不相等的平行四边形。 答案为A 例2：用斜二测画法画正五边形的直观图. 知识点9：空间几何体的直观图 点拨：考查斜二测画法 解：1.如图（1），以BE所在的直线为x轴，经过点A 且与BE所在的直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 ，画对应的x轴和y轴，使xOy=45 2.在图（2）中，以O为中点，在x 轴上截取OB=OE=OB=OE.在y轴 上截取OF=OF，OA=OA，经过 点F作与x轴平行的直线，且在该直 线上截取FC=FD=FC=FD 3连结AB、BC、DE、EA，所得五 边形ABCDE就是五边形ABCDE的水 平放置的直观图，如图（3） 知识点9：空间几何体的直观图 知识点9：空间几何体的直观图 练习3：用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm 、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图 点拨：主要考查斜二测画法 解：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90. 知识点9：空间几何体的直观图 (2)画底面以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN 4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ cm.分别过点M 和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它 们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长 方体的底面ABCD. (3)画侧棱过A，B，C，D各点分别 作z轴的平行线，并在这些平行线上 分别截取2 cm长的线段AA，BB， CC，DD. 知识点9：空间几何体的直观图 (4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉 辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的 直观图 知识点10：空间几何体的表面积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积：我们通常分别求_ 的面积，再将所求结果相加 各个面 2.圆柱表面积：S=_(r为底面半径 l为母线) 3.圆锥表面积：S=_(r为底面半 径,l为母线) 4.圆台表面积：S=_(r上底面半 径，r下底面半径，l母线) 5.球的表面积：S=_(R为球半径) 知识点10：空间几何体的表面积 例：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积 点拨：考查多面体的侧面积和表面积 解：(1)设O1、O分别为正三棱台ABC A1B1C1的上、下底面正三角形的中 心，如图所示，则O1O ，过O1作 O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱 台的斜高 知识点10：空间几何体的表面积 过D1作D1EAD于E，则D1E O1O 因O1D1 3 ,OD 6 则DEODO1D1 = 在RtD1DE中，D1D (2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高 知识点10：空间几何体的表面积 知识点10：空间几何体的表面积 练习1：已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，一条侧棱 长为 ，则它的斜高为_ 点拨：考查多面体的斜高求法 解：正四棱锥VABCD的底面面积为16 AE=AD=2， 在直角三角形PAE中， 斜高PE= 知识点10：空间几何体的表面积 练习2：已知球的两个平行截面的面积分别为 ,且两个截面之间的距离为9,求球的表面积. 点拨：考查球的表面积 解:下图为球的一个大圆截面. (1)当两截面在球心