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文档简介

8.1 向量的内积,定义1：设 是实数域 上的一个向量空间。若 ，有唯一确定的记作 的实数与之对应，叫做向量 与 的内积，并且下列条件被满足： 当 时， 这里， ， ，则 叫做对这个内积来说的一个欧几里德（euclid） 空间，简称欧氏空间。,例1、 中，任意两向量 ， ，规定： 。 对上面规定的内积是否作成欧氏空间？,例2、令 是定义在 上一切连续实函数所成的向量空间。设 规定： 。证明， 作成 一个欧氏空间。,定义2：设 是欧氏空间的一个向量。 非负实数 的算术根 叫做 的长度，记作 ，即： 。 特别，零向量的长度为零。,例3、欧氏空间 中， ， ，求 和 。,定义：长度是1的向量叫做单位向量。若 是一个非零向量， 是一个单位向量。,欧氏空间 内积的性质： 当 时， 有 若 都有 ，则 。,定理8.1.1：在一个欧氏空间里，对于任意向量 ，有 （柯西-施瓦兹不等式） 当且仅当 与 线性相关时，上式取等号。,例4、设 ，证明： 。,例5 、设 ，证明：若 则 。,定义3：设 和 是欧氏空间的两个非零向量， 与 的夹角 定义如下： ； 的取值范围为： 。,定义：当欧氏空间两个非零向量的夹角是 时，称它们正交。特别规定: 零向量与任意向量都正交。,定义4：对于欧氏空间的两个向量 与 ，若 ，则 与 正交。,例6、证明：在欧氏空间 中，向量 ， 两两正交。,定理8.1.2 ：在一个欧氏空间中，若 向量 与 中的每一个都正交，那么 与 的任意一个线性组合也正交。,结论：设 与 是欧氏空间的任意向量，有 。,定义：在一个欧氏空间中，两向量 与 的距离指的是 的长度 ， 记作 ，即： 。,距离的性质： （1）当 时， （2） （3） （三角形不等式） 即：三角形两边之和大于第三
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