浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡.docx

高等固体物理论文题目：浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡姓名： 刘文晓 学号： 3113071011 班级： 硕3045班 单位： 理学院 专业: 光学 2013年12月10日目 录摘 要1Abstract1引言21 光子晶格21.1 光子晶格的原理21.2 一维、二维、三维光子晶格22 布洛赫振荡5 2.1 布洛赫振荡的理论描述52.2短程相互作用诱导的原子布洛赫振荡的退相干效应73 光晶格中超冷原子的布洛赫振荡103.1 原理103.2 光晶格中超冷偶极玻色原子的布洛赫振荡124 总结与展望18参考文献18浅谈光晶格中超冷原子的布洛赫振荡学生姓名：刘文晓 学号：3113071011学 院：理学院 专业：光学摘 要：本文首先对光子晶格做简单的介绍，包括光子晶格的原理和分类。其次，本文将通过描述光子晶格的布洛赫振荡来主要讨论超冷原子在光晶格中布洛赫振荡。关键词：光晶格；冷原子；布洛赫振荡；偶极一偶极相互作用The Introduction of Bloch oscillation of ultra-cold atoms trapped in optical latticeAbstract: In this article, firstly we introduce the conception of optical lattice simply, including the principle and classification of optical lattice. Secondly, we describe the principle of bloch oscillation in optical lattice, and then mainly discuss Bloch oscillation of ultra-cold atoms trapped in optical lattice.Key words: optical lattice; ultra-cold atoms; Bloch oscillation; a dipole-dipole interaction引言光晶格最早起源于对原子进行的偏振梯度冷却和亚光子反弹冷却实验。1993年，M. G. Prentiss首先提出了原子光学晶格的概念，随后，T. W. Hnsch和G. Grynberg等人对此展开了实验研究1。光晶格是利用交流Stark效应产生的，它有很多优点，例如，它是非常纯净的系统，而且具有很好的周期性，其晶格常数可以通过改变相干激光束的波长加以调节，其势讲深度可以通过改变相干激光束的强度来控制。基于这些优点，目前光晶格已被广泛应用于超冷原子的操控。在固体晶格中，通常晶格中原子间的距离很短，原子间以及原子与晶格场间的相互作用很强；与之不同的是，光晶格中的原子与激光场间的相互作用较弱，原子间的距离也比固体晶格中的原子间距离大几百倍，这导致光晶格内原子动态特性的变化较固体晶格中的情形要慢的多，而原子在光晶格中的运动与电子在固体晶格场中的运动特征却很相似，因此，利用光晶格中的BEC对固体晶格系统进行模拟成为可能。利用它可以对固体晶格中一些不易观察的物理现象，如原子的布洛赫振荡、非线性朗道一基纳隧穿以及原子自囚禁和局域化等进行研究。本文将通过对光子晶格的布洛赫振荡描述，主要讨论冷原子在光晶格中布洛赫振荡。1 光子晶格1.1 光子晶格的原理光晶格的形成是由于原子在激光场中受到两种力的作用:偶极力和散射力。光晶格和其它光阱(也称作偶极阱)的工作原理是交流Stark偏移，当一个原子放在一个光场中的时候，光场所产生的振荡电场会在原子内部产生一个电偶极矩。电场和偶极子之间的相互作用会使原子的能级移动 (1)其中，表示原子能级在共振频率为的极化率，是光场的失谐。 当光场的频率小于原子共振频率时，即(“红失谐”)，约化的偶极子与电场方向一致。此时就会在原子上产生一个指向光场增强方向的偶极力。当激光调到高于原子共振频率时，即 (“蓝失谐”)，此时力的方向指向光场最弱处。也就是说偶极力分别使原子处于光场最强或最弱的地方，从而把原子俘获在光晶格中2。散射力是与自发辐射有关的力，正比于散射率(自发辐射力)，因此也称自发辐射力。它的起因是位于激光束内的原子连续从激光束吸收光子并随后自发的向任意方向发射光子。原子吸收和自发辐射的净效应是使原子减速，因此自发辐射在冷却光学晶格中的原子时起了关键作用。散射的相对大小和光学力的偶极子成分都可以通过改变激光频率从实验上加以调整。事实上，许多人都是利用激光束的配置来产生光学晶格(没有光强变化)的，而且仅仅是利用了偏振的梯度。因此，通过光束偏振的空间变化可以使原子和光相互作用强度随位置发生变化。1.2一维、二维、三维光晶格1.2.1 一维光晶格一维光晶格可以由两束相向传播的、偏振方向相互平行的线偏振激光束或旋转方向相同的圆偏振光束干涉而形成。最简单的如图1所示。另外，也可以利用一束满足高斯分布的激光与它的反射光进行叠加干涉来产生一维光学晶格3。例如，考虑一束沿方向传播的激光束，其与反射光叠加后合成的电场强度与一维驻波场强式相同，原子在方向上感受到的周期性势为 (2)在平面，通过外加磁囚禁势场可以将原子束缚住，常见的外加磁势为圆柱形，其形式为 (3)其中， 和分别、方向和方向的囚禁频率。如果，如则BEC呈薄饼状分布，原子的空间密度分布如图1所示，在方向上形成一维光晶格。实际上系统还是三维的，只是在方向上是一维的。在上述简单的一维光晶格中，如果单位晶格长度内包含两个以上的势讲，则这样的晶格就称为超晶格。它可以通过两束同方向传播但频率相差倍的激光束分别与其反射光叠加干涉而产生。我们假定激光束仍然沿着方向传播，其电场分布可以记作 (4)其中，表示共轭复数，代表反射光。原子感受到的周期性势为 (5)在平面上，同样利用外加磁场将原子束缚住，这样就在方向上形成带有n个子势阱的一维光晶格，图1 (b)是单位晶格长度内包含个势阱的一维超晶格。图1: (a) 表示平面内两对正交的一维驻波激光场。(b) 为由(a) 所构造的二维矩形光晶格。1.2.2 二维光晶格1993年，德国的T. W. mansch研究小组釆用图1(a)所示的两对正交的一维驻波激光场在平面形成了二维光晶格，铷原子被成功囚禁于其中。实验中，他们利用迈克尔逊干涉仪将两个正交驻波激光场的相位差精确地控制在，从而得到了稳定的矩形光晶格，如图1(b)所示。白色的中心点为光强最强处，黑色则表示光强较弱的区域；相邻势阱间距为，其中为驻波激光场的波长。图2: (a)表示平面内三束波矢间夹角为120的线偏振光。(b)为由(a)所构造的二维六方形光晶格。同年，G. Grynberg等人提出了另外一种二维光晶格的制备方案4。二维光晶格由图2 (a)所示的三束波矢之间夹角为120的线偏振激光干涉所形成，实验中他们得到了非常漂亮的六方形光晶格。与矩形晶格的情况不同，这一方案消除了激光束相位漂移对晶格形状的影响。当晶格光场为红失谐时，实验中采用的铯原子被吸引到光强最强处，即图2 (b)中的白色区域；当晶格光场为蓝失谐时，铯原子被排斥到光强最弱处，即图2 (b)中的黑色区域。1.2.3 三维光晶格目前，实验上有多种方案可以形成三维光晶格。所形成的晶格结构有简立方、心立方和体心立方等。如图3 (a) 所示，这一方案采用四束激光束，其中三束为平面内的线偏振激光束，一束为方向上的圆偏振激光束，四束激光两两间的夹角为120。正是方向上圆偏振激光束的存在改变了势阱和的对称性，从而形成了图3 (b) 所示的体心立方晶格结构。另外，T. W. ffinsch等人釆用如图4 (a) 所示的三对正交驻波激光场， 同样形成了体心立方结构的三维光晶格，结果如图4 (b)和4 (c)所示。其中和方向上驻波场之间的相位差固定为； 0；和方向上驻波场之间的相位差记作。图3: (a)为四束激光束，其中在平面内的三束为线偏振光，沿方向传播的一束为圆偏振光，光束之间的夹角均为120。(b)是由(a)所形成的三维体心立方光晶格。当时，浅阱数目是深阱数目的两倍；当时，二者数目相等。图4: (a)表示三对两两正交的驻波激光场。(b)和(C)是由(a)所形成的三维体心立方晶格，其中不同颜色的圆圈代表带有不同磁矩方向的原子，大的圆圈代表深阱，小的代表浅阱。对于二维和三维光晶格，当制备晶格所需的激光束数目 (d表示晶格维度)时，我们称之为Grynberg型光晶格。当时，则称为Hansh型光晶格。2 布洛赫振荡直到最近几年，人们才在加速的光晶格中观察到长时间的布洛赫振荡。下面先对布洛赫振荡做一些基本的介绍。2.1 布洛赫振荡的理论描述我们以最简单的单粒子布洛赫振荡为例，即单粒子在一维周期性势场中运动。系统的Hamilton量为 (6)这里是粒子的质量，是周期性势场的深度， 是势场的波数。是粒子所受的外力5。从固体物理中我们知道，单光子反冲能量为，当例子没有受到外力时()，系统(2)式的能量木征态为: (7)其中，这里是晶格常数。当粒子受到一个静态力时候，粒子的定态薛定谔方程为 (8)其中E是能量本征值。要描述粒子的动力学行为就需要了解初态为的含时薛定谔方程。如此构造 (9)通常感兴趣的是在时刻，仅有能带被占据(一般最低能带)的情况。当是一个光滑的函数，且局域于第一Brillouin区中的某一个时，假设它与其它能带的耦合很弱，这样除之外的所有能带都可以忽略。从文献6可知 (10)该方程有如下的形式解 (11)上式表明粒子的动量分布在空间以恒定的速度运动，并且保持形状不变。粒子在受到力的作用下，波包的中心在空间以一种“经典”的行为运动 (12)求解(12)式，得到随时间线性增加 (13)同时，波包的群速度取决于色散关系，在只考虑最低能带时 (14)考虑简单情况，选取色散关系，这里是第一能带的宽度。可以得到 (15)其中为粒子布洛赫振荡频率。方便起见，选取原点为起始点，可以得到实空间中波包的位置为 (16)这表明波包在实空间以振幅，频率作周期性振荡，这种粒子在周期性势场中的振荡就是布洛赫振荡。2.2 短程相互作用诱导的原子布洛赫振荡的退相干效应很早就有实验证明非线性相互作用会导致布洛赫振荡的塌缩，可是直到2008年才在实验上实现了对这个由碰撞相互作用诱导的退相干现象进行控制6。这里我们就以光晶格中超冷原子的布洛赫振荡为例，介绍碰撞相互作用对原子布洛赫振荡的影响。一维光晶格中短程相互作用的玻色气体的Gross-Pitaevskii方程为 (17)这里是原子质量，是相互作用强度，周期性势满足。在线性化分析中，这个系统所有的基木特征都可以得到体现，比如原子的布洛赫振荡。当把非线性项引入到系统哈密顿量中以后会诱导出很多新的效应，比如:孤子运动，非线性Zener隧穿以及混沌现象等等。这里只是关心其对布洛赫振荡的破坏。对(17)式做解析分析是件非常困难的事情，很多研究都是采用数值模拟的方式。通过归一化以后7，(13)式可以改变为 (18)这里是归一化后的普朗克常数。实验上非线性参数。当然它可以通过调节横向波包宽度和光晶格深度来达到更大的值。选择一定的相互作用强度可以数值求解方程(18)式。图5 位置的期望值和宽度。这里排斥相互强度图6位置的期望值和宽度。这里吸引相互强度.图5中给出了排斥相互作用下位置的平均值和宽度随时间的变化。从图中可以看出，经过10个布洛赫振荡的周期，布洛赫振荡仍然保持的很好。但是振荡的幅度明显衰减。振荡的宽度变得越来越宽。对于吸引相互作用势，如图6所示，也可以观察到相同的结果。只是两种情况下纸的振荡是反相的。对于相互作用较强的情况(如图7所示)，可以看到布洛赫振荡急剧塌缩。图7 位置的期望值和宽度。这里排斥相互强度。3 光晶格中超冷原子的布洛赫振荡3.1 原理超冷原子在光学晶格势场中受到外场作用时，薛定谔方程可以写为 (19)这里是简化的波长，是基体折射率，是势能，是随着轴变化的直流外场8。因为势能是如此的小，以至于我们可以把它看做是微扰，因此薛定谔方程可以变为 (20)考虑到离散情况，我们必须限制自伴算符的本征值为离散值 (21)这里是一个晶格常数，而。这里我们把算符定义为离散衍生物:， (22)这里是一个最小转移算符。我们可以很容易地得到。将带入方程(20)可以得到: (23)为了解决外场力随着z轴变化的薛定谔方程，我们引入下面的变换 (24)此时新的波函数薛定谔方程的哈密顿量可以表示为(25)利用，薛定谔方程可以转变为 (26)这里在的转变下，方程满足是不变的，因为我们可以写成 (27)其中，在n里是具有周期的，因此薛定谔方程变成了 (28)其中(29)关于哈密顿的本征态为，这个本征态的本征值为，其中，是一个整数，通过对的限定，我们可以知道本征值和本征态只是一般的能带和具有周期性的部分，我们用这样的本征值和本征态来表示布洛赫函数。在绝热近似中，表示布洛赫带，因此波函数可以写成 (30)上面的变化我们运用下面的条件： (31)最终，可以得到： (32)其中，只是一般的布洛赫函数。3.2 光晶格中超冷偶极玻色原子的布洛赫振荡在这一小节中，我们将对准一维光晶格中超冷偶极气体的布洛赫振荡做相关的理论研究。3.2.1 准一维光晶格中偶极气体的Gross一Pitaevskii方程我们考虑的是重力场下超冷偶极玻色气体在准一维光晶格中运动的模型。为了突出强调偶极一偶极相互作用在系统中的贡献，特别地，我们这里考虑的是原子的偶极玻色一爱因斯坦凝聚。之所以考虑它是因为其具有较大的偶极矩(是玻尔磁子)，这就直接对应着较强的偶极一偶极相互作用。假设原子感受的势场为 (33) (34)其中分别为谐振子势的三个囚禁频率，是原子质量。为方向的外势，此势场可以分为两部分，第一部分是光晶格势；第二部分为外力作用势场，我们这里考虑的是重力场，即，其中是原子的质量，是重力加速度。当谐振子势的囚禁频率满足的条件时，系统中的偶极气体在径向方向上被约束的很紧，其径向波函数可用谐振子势在相应方向上的基态波函数来描述。此时系统的波函数可以表示为 (35)和是和方向上势阱的基态波函数，它们的表达式可以写为 (36) (37)其中为系统的特征长度。和满足归一化关系：。不失一般性，我们假设偶极矩被极化后沿磁场方向排列，并且限制在()平面上，所以两体偶极相互作用势可以表示为 (38)这里是偶极矩和轴的夹角。，为真空磁导率。系统相互作用势的完全形式可以表示为 (39)其中碰撞相互作用项中是波散射长度。因此，在平均场近似下，准一维光晶格中偶极波色-爱因斯坦凝聚的Gross-Pitaevskii方程就写为9 (40)这里宏观波函数归一化到1。首先处理偶极积分，我们采用傅里叶变换的方法 (41)这里和是快速傅里叶变换和快速反傅里叶变换。其中，项可以表示为 (42)这里是和的夹角，在直角坐标中可写为 (43)这里和是动量在球坐标系下的极角和方位角。将(33)，(41)，(42)代入(40)式，我们可以得到 (44)上式中 (45) (46)这里是短程碰撞相互作用项。有效的偶极-偶极相互作用的傅里叶变换是 (47)上式中：，其中为不完全伽马函数。容易得到（44） (48)式中代表偶极-偶极相互作用的各向同性部分，其特性可以从图8中看出来5。图8 偶极-偶极相互作用的各向同性的部分从图8可以看出，对于特定的角度 (49)我们可以得到 (50)所以在这个极其特殊的角度，偶极-偶极相互作用完全消失。图9中给出了准一维超冷极性原子气体偶极偶极相互作用有效势随偶极子极化角和变化的关系。对于可以有物理的理解。在准一维偶极气体中，吸引相互作用和排斥相互作用势并存，当时，这时，而且只是在的一个很窄的峰，因此这个时候排斥相互作用支配着这个系统，即偶极一偶极相互作用整体表现就是排斥的。相同地，当时，偶极一偶极相互作用整体表现就是吸引的。当时，吸引相互作用和排斥相互作用通过相互竞争达到平衡，相互抵消，此时偶极一偶极相互作用对系统不起任何作用。它和原子钟中的魔幻波长相似(两个能级间的偶极效应达到平衡)，我们称为魔幻极化方向。图9 准一维超冷极性原子气体偶极偶极相互作用有效势的傅里叶谱随偶极子极化角和的变化3.2.2 偶极-偶极相互作用诱发的原子布洛赫振荡的退相干效应魔幻极化方向在精密测量中有着重要的应用，应用它也可以用来调控极性气体的量子动力学。例如，我们调节偶极子都沿着魔幻极化方向，而且波散射长度同时调到零，此时相互作用诱导的退相干效应就可以忽略了。由于实验技术的限制，我们不可能将这个角度完全调到魔幻极化方向。为了研究角度的偏移对系统的影响，我们以光晶格中超冷偶极气体的布洛赫振荡为例进行说明。考虑（33）式的外势场，采取紧束缚近似 (51)上式中是第个格子上的瓦尼尔函数，是格子点上粒子的湮灭算符。从(44)式可以得到 (52)其中系数 (53)图10 不同极化角度下零点位置的原子密度随时间的演化。现在我们数值求解方程组(48)。数值计算中，我们假定光晶格中的原子数目为106个。为了强调偶极一偶极相互作用对系统的影响，我们将波散射长度调到了零。假定初始条件为 (54)这里是凝聚体波包宽度，我们选择以保证凝聚体波包足够宽。将(54)式代入(51)式就可以求得方程的解10。图11第29994个周期到30000个周期零点位置的原子密度。*代表，点线代表，虚线代表，实线代表理想的布洛赫振荡。图11中我们给出了点处的原子的密度。我们选择了不同的角度。可以看出，在只有偶极-偶极相互作用时，系统中原子的布洛赫振荡可以维持很久的时间，凝聚体波包塌缩的很慢，但是几万个周期后，当时，由于极强的偶极-偶极相互作用， 随着时间增加急剧衰减，也就是说凝聚体波包明显塌缩了。但是，当我们将调得靠近魔幻角度时， 衰减的速度明显下降了。当时，系统演化了30000个布洛赫振荡周期衰减仍然很小。为了观察系统演化了几万个周期后的形状，在图11中我们给出了第29994周期到30000个周期的。可以看出，经过这么长的时间振荡，布洛赫振荡仍然保持得很好，尤其是当靠近，时,和理想的布洛赫振荡偏差小于l%5。图12 粒子数比较小的情况下不同角度下零点位置的原子密度随时间的演化为了数值计算方便，我们所取的原子数目和偶极矩的值都大于目前用来做布洛赫振荡实验的碱金属原子的值。可以预见，当这个魔幻角度用到碱金属原子布洛赫振荡实验时，将会对布洛赫振荡产生非常可观的促进。图12中我们给出了个原子的情况。很显然，原子波包的塌缩明显变慢了。把这组参数应用到具体实验中，将会得到时间更长的布洛赫振荡。尽管如此，我们的结果己经远远超过实验的结果(约20000个周期)。4 总结与展望在本文中，我们首先介绍了光子晶格的概念