刚体转动动力学基础.ppt

2019/3/7,1,第一章,刚体定点转动的力学基础,2019/3/7,2,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,刚体 刚体坐标系与参考坐标系 刚体的运动自由度 自由刚体位置和运动的描述 定轴转动刚体 定点转动刚体,基本概念,2019/3/7,3,一 质点的位置向量及其表示方法,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,广义坐标,列向量,方向余弦,空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。,2019/3/7,4,二 定点转动刚体角位置的广义坐标表示,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,三个非共线向量,自由刚体六个参数独立,定点刚体三个参数独立,2019/3/7,5,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述,采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：,确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个33的矩阵），可以确定刚体的角位置。,2019/3/7,6,三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述,对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2019/3/7,7,方向余弦矩阵的应用：坐标变换基本公式,讨论：,2019/3/7,8,讨论：,方向余弦矩阵的性质,（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵,（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵,（3）方向余弦矩阵是正交矩阵,约束方程,2019/3/7,9,方向余弦矩阵的约束方程,讨论：,2019/3/7,10,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。,依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。,2019/3/7,11,第一类欧拉角 (转动顺序为：z-x-z),四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2019/3/7,12,第一类欧拉角的线性化,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2019/3/7,13,第二类欧拉角（转动顺序为：x-y-z）,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2019/3/7,14,第二类欧拉角的线性化,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2019/3/7,15,五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2019/3/7,16,为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：,2019/3/7,17,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述,2019/3/7,18,自学内容：方向余弦矩阵的导数,2019/3/7,19,1.2 常用参考坐标系,一 惯性坐标系,1.日心惯性坐标系,2.地心惯性坐标系,日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。,地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。,2019/3/7,20,1.2 常用参考坐标系,二 地球坐标系及其旋转角速度,坐标系原点设在地球中心, 三根轴与地球相固结。,2019/3/7,21,1.2 常用参考坐标系,三 地理坐标系,1. 地固地理坐标系,坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结。,2019/3/7,22,1.2 常用参考坐标系,2. 当地地理坐标系,原点设在沿地球表面运动的物体上（通常选质心），三根轴和地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。 除随地球自转以外，还随运动物体相对地球运动，但不参与物体的俯仰、倾斜等运动。 随运动物体在地球表面运动，故也称之为动地理坐标系。,k,v,n,e,2019/3/7,23,1.2 常用参考坐标系,2. 当地地理坐标系,2019/3/7,24,1.2 常用参考坐标系,四 地平坐标系,原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向，z轴铅直向上。,2019/3/7,25,1.2 常用参考坐标系,五 载体坐标系,坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。,2019/3/7,26,1.2 常用参考坐标系,六 陀螺坐标系,2019/3/7,27,哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。,1.3 刚体定点转动的一般原理,一 哥氏定理与哥氏加速度,两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。,2019/3/7,28,两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别,n系,b系,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,29,两个参考系之间相对转动时,大小变化,b系的方位变化,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,30,两个参考系之间相对转动时,于是：,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,31,哥氏定理的向量表示,哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,32,由哥氏定理可得到速度合成公式,质点相对于参考系的速度。,坐标系b相对于参考系的速度,质点相对于坐标系b的速度,附加速度,牵连速度,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,33,对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：,一 哥氏定理与哥氏加速度,2019/3/7,34,一 哥氏定理与哥氏加速度,动点在参考坐标系中的视加速度,动点的爱因斯坦加速度，是动系线性加速运动产生的。,动点在动坐标系中的相对加速度,2019/3/7,35,一 哥氏定理与哥氏加速度,动点的哥氏加速度,动点的欧拉加速度,动点的向心加速度,牵连加速度,2019/3/7,36,讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体,e 系：地球坐标系,i 系 地心惯性系,2019/3/7,37,讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体,e 系：地球坐标系,i 系 地心惯性系,2019/3/7,38,二 非惯性系中的牛顿定律,惯性系中的牛顿第二定律：,根据哥氏定理：,：牵连惯性力,：哥氏惯性力,2019/3/7,39,二 非惯性系中的牛顿定律,达朗贝尔原理的一般形式,2019/3/7,40,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,刚体对任意轴转动惯量的表达式,刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式,2019/3/7,41,讨论：转动惯量的求解,求下图装置对不同坐标系的转动惯量,2019/3/7,42,求圆环与匀质圆盘的转动惯量,圆环,匀质圆盘,2019/3/7,43,转动惯量矩阵,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,2019/3/7,44,惯量椭球,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况，称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。,2019/3/7,45,惯性主轴,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。,2019/3/7,46,陀螺转子的转动惯量,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,转子形状对自转轴对称，自转轴是转子的惯性主轴；包含自转轴的任何平面都是转子的对称平面，可判断出垂直于自转轴的任意轴均是转子的惯性主轴。在转子赤道平面内的任意赤道轴都是垂直于自转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。,对于旋转质量陀螺仪，转子的转动惯量是一个重要的参数，为了在有限的仪表体积内使转子绕自转轴有极大的转动惯量，陀螺电机与一般电动机不同，即“内定子、外转子”结构，使质量分布远离自转轴。而且，转子采用金属材料， 使其具有较大的体积密度。,2019/3/7,47,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,质点的角动量及角动量定理,2019/3/7,48,定点转动刚体的角动量,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,2019/3/7,49,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,定点转动刚体的角动量,惯性主轴,2019/3/7,50,刚体的角动量定理与欧拉动力学方程,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,哥氏定理,角动量定理,2019/3/7,51,刚体的角动量定理与欧拉动力学方程,四 角