高一数学必修1(集合函数)学案.doc

高一数学 必修1学案1 1.1 集合的含义及其表示预习导引集合论是德国数学家康托（具体内容可参见附录康托与集合论在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容，在后续的学习中是一种重要的工具(如用集合的语言表示函数的定义域和值域，方程和不等式的解，曲线等)。因此同学们要理解、适应并自觉运用集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。阅读教材并完成下列填空：1.一般地，一定范围内某些 、 的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为 。2.集合的常用表示方法：（1）列举法将集合的元素_出来，并_表示集合的方法叫列举法.元素之间要用_分隔，但列举时与_无关。除了课本中的例子，请另举两个列举法表示的集合例子：_（2）描述法 将集合的所有元素都具有性质_表示出来，写成_的形式,称之为描述法.如：为中国的直辖市, 需要注意的是中为集合的代表元素，指元素具有的性质.除了课本中的例子，请另举两个描述法表示的集合例子：_（3）图示法（venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.3.集合的分类：按所含元素的多少来分：（1） _叫做有限集；（2）_叫做无限集；（3） _叫做空集，记作_.请举一个空集的例子_4.特殊的数集：数学中常用大写拉丁字母表示集合，但有几个是专用的，请填写下面内容：自然数集记作 ，正整数集记作 ，表示 集，表示 集，表示 集。5集合与元素：如果是集合的元素，那么就记作 ，读作 。例如： ， ， ，智慧课堂一集合的含义例1下列各题中的对象的全体能否构成一个集合？“某中学的大胖子”； 接近于0的数的全体； “某学校身高超过1米8的高个子”；的近似值的全体； “奥运会的比赛项目”；（6）“正三角形的全体”；总结1.集合中的元素具有三个性质：二集合的常用表示方法1交流并记录预习导引中同学所举列举法、描述法的集合例子，初步感受两种表示方法的异同及注意点。2详细讲解例2用列举法表示下列集合：（1）单词mathematics中的字母的集合； （2）自然数中不大于10的质数的集合；（3）同时满足的整数解的集合；（4）由所确定的实数集合；总结2.用列举法表示集合的的注意点有：例3用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；总结3.用描述法表示集合的的注意点有：注意：对于一个集合而言既可用列举法也可用描述法表示，例如方程的解集用列举法可表示为，用描述法可表示为，因此有例4集合的分类判断下列集合是有限集还是无限集？；(为平面上的两个不同的定点，为动点)(为平面上的一个定点，为动点)； 是某个指定三角形的外接圆例5. （1）已知，且，求的值巩固练习1用列举法表示下列集合： 是15的正约数 2用描述法表示下列集合：；3.已知集合如果，求实数的值；4.已知集合=，求的值。分层作业1用列举法表示下列集合：（1） 不大于10的非负偶数集；（2） 15的正约数的集合；（3） ，为非零实数，的值组成的集合；（4） 一次函数与的图象的交点组成的集合；（5） 的解组成的集合；2用描述法表示下列集合：（1） 所有正偶数组成的集合； （2） 方程的解的集合；（3）不等式的解集；（4）0，组成的集合；（5）函数的图象上的点集；3.数集中所满足的条件为 ；4.用列举法表示下列集合：（1） （2）（3）用列举法表示5把下列集合用另一种方法表示出来：（1）（2）是小于10既是奇数又是质数的自然数6若，求实数的值7若一数集中的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该集合为“可倒数集”，试写出一个含三个元素的可倒数集 。（只写一个）学案2 1.2 子集、全集、补集（1）预习导引阅读教材p8完成下列填空：1.如果集合a的任意一个元素都是集合b的元素（_），则称集合 a为集合b的子集,记为_或_读作“_”或“_”.根据子集的定义，我们知道aa，也就是说：_对于空集，我们规定，即：_试举一个子集例子_2.如果，并且ab，那么集合 a称为集合b的真子集,记为_或_读作“_”或“_”试举一个真子集例子_3.由子集与真子集的概念可知：是任何非空集合的真子集，符号表示为：_4设_，由s中_的所有元素组成的集合称为s的子集a的补集, 记为_，读作“_”即：=_2如果集合s包含_，这时s可看做一个全集，全集常记作_。智慧课堂例1（1）给出下面7个关系：；其中错误的是：_ 例2写出集合的所有子集：_ 写出集合的所有真子集：_已知=是菱形，=是正方形，=是平行四边形，则、之间的关系可用符号表示为：_例3下列各组的三个集合中，哪些集合之间具有包含关系？，；，；，例4（1）已知则实数= （2）不等式组的解集为，,求 （3）设集合，则 ， 。例5.（1）已知全集,集合则= ；（2）巩固练习：1给出下列命题，其中正确的个数有 空集没有子集；空集是任何一个集合的真子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；如果集合那么若元素不属于，则必不属于。2求符合条件的集合的个数 ；3已知，则的值为 4.已知全集，求实数的值？分层作业1,求；2已知全集，求和的值。3设，求的取值范围？学案5 1.3 交集、并集（1）图1预习导引1一般地，由所有 的元素构成的集合，称为a与b的交集，记作 （读作“ ”），即 ；在图1中用阴影部分表示。图22一般地，由所有 的元素构成的集合，称为a与b的并集，记作 （读作“ ”），即 ；在图2中用阴影部分表示。3(1)设，则 、 。(2)设，则 、 。(3)设，则 、 。(4)设，则 、 。(5)，求ab，说明集合ab的意义。智慧课堂例1（1）设集合，若ab=9，求；（2）集合，若mn=m，求实数的集合；巩固练习11.，则实数的值等于=_2.若,ab，则= 例2（1）已知集合，则 。（2）设全集是实数集，,则等于 巩固练习23.如图所示，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 4.，则ab= ab= 5.设全集，则= ；分层作业1.（1）若,则ab= （2）若,则ab= （3）若,则ab= 2设集合a=y|y=x2+1,b=y|y=-x2+1，则= ；3，则 4已知集合，若，求实数的值。5.（1）已知，且 ab =求；（2），当ab=2，3，求ab.（3），求。6（1）集合，若，求集合；(2)已知集合而且mn=1,记p=mn，写出集合的所有子集。学案6 1.3 交集、并集（2）预习导引图1图2图31.根据集合a、b的相对位置关系，我们可以得出下列三个图，请结合图示思考下列性质是否成立：（1）、 （2）、2.阅读教材p12，学会用区间表达跟不等式有关的数集：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；3.（1），则 ；（2）设集合，则 ；（3），则 ；（4）设集合，集合，当时，则 ；智慧课堂例1（1）设全集求：，。（2）设全集不大于20的质数，是的两个子集，且满足，求例2学校举办排球赛，某班45名同学中有12名同学参加，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参加，已知两项都参加的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少同学没有参加过比赛？例3已知集合， ，时实数的取值范围例4已知集合，若ab=b，求实数所构成的集合，并写出的所有子集。例5，(1) 若ab=b，求实数的值？(2) 若ab=b，求实数的值？分层作业1已知u=1,2,3,4,5,6,7,8,a=3,4,5,b=1,3,6,那么2,7,8是 2学校举办课外数学、英语兴趣小组，某班55个同学中有21名报名参加英语小组，27名报名参加数学小组，其中两个小组都参加的有6名，问：这个班共有几个同学没有参加任何一个小组？ 3设全集，,则= 4设集合，若，求实数的取值范围。若，求实数的取值范围。若，求实数的值。5则实数的值为 6，求实数的范围？7已知（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围。*8设是两个非空集合，定义差集：，（1） 若求（2） 若，求*9如果三个方程至少有一个方程有实数解，试求实数的取值范围？学案7 小结与复习预习导引1基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示方法、常见数集2含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集3集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集巩固练习设方程的解集为，方程的解集为，若，则_.若集合，则 满足的所有集合为 。设全集集合,则 智慧课堂例1用适当的符号（ ，=，,等）填空：(1) ； (2) ； (3) ；(4) (5) ； (6)(0,1)_ (7)_ (8) 。巩固练习1下面六个关系式中正确的是 ； ； ； 例2用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。(1)由所有非负奇数组成的集合； (2)由所有小于20的奇质数组成的集合； (3)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合；(4)方程的实根组成的集合巩固练习2设全集=,集合=能被2或3整除的自然数，用列举法表示集合=_.例3已知集合，求。巩固练习3一个实数的集合可表示为，也可表示为，则= 例4。求：。巩固练习4设，=，求例5设。（1）求的值及； （2）设全集，求；（3）写出的所有的子集。巩固练习5设集合,且,求实数的取值。回顾思考1解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化 5求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 6含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；分层作业1设全集，若，则 ， 2已知：，则实数、的值分别为 3.已知，若，则适合条件的实数的集合为 ；的子集有 个；的非空真子集有 个4若集合，集合，且，求的取值范围5. 设集合，若，求的值及、6 已知全集，求、(u)，(u ).7.已知集合，若，求实数、的值学案8 2.1.1 函数的概念和图象（1）预习导引阅读教材p21-23页，思考并完成下列各题：1.结合p21所举三个案例，用集合语言描述这些问题的共同点为：（1） ；（2） .2.单值对应的具体涵义是： .3.一般地，设a，b是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合a中的 ，在集合b中 和它对应，那么这样的对应叫做从a到b的一个函数，通常记作 。其中所有的输入值组成的集合叫做函数的 ，所以输出值组成的集合称为函数的 。4.给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指 的集合。5.结合教材p23例2，完成下列填空：（1）的定义域为 ；（2）的定义域为 ；（3）的定义域为 ；（4）的定义域为 .6.结合教材p23例3，完成下列填空：（1）的值域为 ；（2）的值域为 ；（3）的值域为 ；（4）的值域为 .智慧课堂一函数的概念例1判断下列对应是否为函数：(1) ； (2)； (3)； （4）， （5）。例2下列各题中两个函数是否表示同一函数(1）；（2）；(3）；（4）；(5）；（6）。二解析式的认识例3（1）已知函数，求；（2）已知，求（3）已知，求三定义域的求解例4求下列函数的定义域（1） ； （2） （3） （4）（5）若函数的定义域为，则的定义域为 ；分层作业1下列对应是集合a到集合b的函数的是 .a=，b=，； a=b=，；a=z，b=，n为奇数时，；n为偶数时，；3若且f(0)=1,f(b)=a，则 。4设，则 。5求下列函数的定义域：； ； ； 6.（1）已知的定义域为，则的定义域为 ；（2）已知的定义域为，则的定义域为 。7已知函数+（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ()的值；8已知函数，分别求它在下列区间上的值域：（1）； （2）； （3）学案9 2.1.1 函数的概念和图象（2）预习导引1.将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量取遍函数定义域a中的每一个值时，就得到一系列的点，所有这些点组成的集合（点集）为 即 ，所有这些点组成的图形就是函数的图象。2.（1），则 ；（2），则 ；（3），则 。3. 求下列函数的定义域（1） ； （2） （3） （4）4.类比教材p25例4所作图象，在下列相应坐标系中完成相应函数图象（1） （2）智慧课堂例1根据函数的解析式与定义域作出下列函数的图象，并根据函数的图象求出值域：； ；(3) （4）巩固练习1.根据函数的图象，求出它们的值域: 例2.求下列函数的值域：（1） （2）（3） （4）例3试画出函数的图象，根据图象回答下列问题：（1）比较的大小；（2）分别写出函数（），（）的值域分层作业1.作出下列两个函数的图象，并比较它们定义域和值域：， ， 2.求下列函数的值域：； ； yx23x4，x2, 4 （5） （6）3画出下列函数的图象:（1） （2） （3）或 （4）学案10 2.1.2 函数的表示方法（1）预习导引1 函数有哪三种表示方法吗？它们在表示函数各有什么特点？请在阅读教材p30页的基础上填写下表：表示方法表示函数的相应特点2.分段函数的特点是： ，值得注意的是，分段函数是一个函数而非几个函数。3.参照例2作出函数的图象4.已知，则 ；5. (1)已知求； （2），求。智慧课堂 例1（1），求； （2）已知，求；（3）已知是一次函数，且有，求此一次函数的解析式；例2函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式例3某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内（含3 km）路程按起步价 7 元收费，超过3 km 以外的路程2.4 元/km 收费. 试写出收费额关于路程的函数解析式。 例4.画出下列函数图象并求相应函数的值域（1） （2）分层作业1一个面积为100 的等腰梯形，上底长为x m，下底长为上底长的3倍，则他的高y与x的关系是 .2设函数 ，若, 则的取值范围是 .3已知一次函数 f (x)满足f (1) = -1, f (2) = -5, 则f(x)= _.4已知函数 f(x)=2x+1,g (x)=,则使fg(x) = gf(x)成立的x的值是_.5.（1）已知，求； （2）已知，求；（3）已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式；（4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，求第84页 共83页6已知等腰三角形的周长为24，试写出底边长y关于腰长x的函数关系式，并画出它的图像。7如图，根据函数图象，求出该函数的解析式，并写出其定义域。8已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，若，试求的函数解析式，并指出其定义域。学案11 2.1.2 函数的表示方法（2）预习导引函数的图象过点（0，-1），则函数的图象过点 函数=满足，则 （1）已知，求；（2）已知，；已知，求，；5.（1）已知一次函数满足，图象过点，求；(2)已知二次函数与轴的两交点为，且，求；(3)已知是的二次函数，且，求.智慧课堂 例1如图，在边长为4的正方形abcd的边上有一点p，沿着折线bcda由点b（起点）向点a（终点）运动。设点p运动的路程为，的面积为，求：（1）与之间的函数关系式；（2）画出的图象。巩固练习1.已知某鞋厂一天的生产成本(元)与生产数量(双)之间的函数关系是求一天生产1000双鞋的成本； 如果某天的生产成本是48000元，问：这一天生产了多少双鞋？ 若每双鞋的售价为90元，且生产的鞋全部售出，试写出这一天的利润关于这一天生产数量的函数关系式，并求出每天至少生产多少双鞋，才能不亏本。例2.画出的图象思考：讨论关于的方程的实数解的个数。分层作业:1.已知函数，求，的值2已知f(2x+1)=3x+2且f(a)=4，则a= .3设h(x)=画出函数y=h(x-1)的图象.4（）已知是一次函数，若，求；（）若，求； 5已知二次函数，满足当时有最大值，且与轴交点横坐标的平方和为，求的解析式。6已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)7（）已知，若gf(x)=x2+x+1，则a=_.（）已知，求*8、分段函数可以表示为，分段函数可以表示为，仿此，分段函数可以表示为 *9已知函数y = f(x) 满足f (1)=1,f (2)=4,你能否写出三个不同类型的函数解析式？学案12 2.1.3 函数的简单性质（1）预习导引1 函数的定义域为a, (a,b)为a的子集，（1） 当x(a,b)时函数值y随x的增大而增大，则在区间_上，函数f(x)为_；此时对于任意的两个值x1,x2(a,b)， 当x1x2时，都有f(x1) _ f(x2)；(2) 当x(a,b)时函数值y随x的增大而减小，则在区间_上，函数f(x)为_;此时对于任意的两个值x1,x2(a,b)， 当x1x2时，都有f(x1) _ f(x2) 。2 结合教材p34例1，完成下列各题：（1）一次函数y=-3x+5在区间（-2,5）为单调_函数；在(-,+)上呢？（2）二次函数y=3x2-6x+1，它的单调增区间为_，它的单调减区间为_；（3）函数y=x2-3x+4的定义域为0，3，它的单调增区间为_，它的单调减区间为_；智慧课堂38122020y10ox例1函数的图象如下，根据图象，写出函数的单调区间和单调性：例2画出下列函数图象，并写出单调区间。 ； ； （4） 例3（1）证明：函数在r上是增函数。（2）讨论在（1，+）上的单调性；例4函数在上单调递减，求的取值范围。巩固练习1一次函数y=kx+b，当k_时，函数为增函数，当k_时，函数是减函数.2函数y=x3+1在区间_上是增函数，函数f(x)=x22x的递增区间为_3证明：函数在区间在（0，+）上是增函数。4.函数y=3x2-ax+5在（-，-1）上是减函数，求a的取值范围。分层作业1若函数f(x)是实数集r上的增函数，a是实数，则 a、f(a2)f(a1) b、f(a)f(3a) c、f(a2a)f(a2)d、f(a21)f(a2)2.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是 (a)y=-3x+1 (b)y=|x+2| (c)y= (d)y=x2-4x+3 3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是 (a)3，+ ） (b)(-，-3 (c)-3 (d)(-，5)4.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x(-2，+)时是增函数，当x(-，-2)时是减函数，则f(1)等于 (a)-3 (b)13 (c)7 (d)由m而决定的常数5指出函数f(x)ax2（a0，a为常数），xr的单调性 6作出的图象，指出它的单调增区间。7已知函数在区间（2，+）上单调递增，求a的取值范围。学案13 2.1.3 函数的简单性质（2）预习导引1.用定义证明函数单调性的步骤是（1），（2），(3) ，(4) ，(5) 。2若函数y=f（x）在某区间上是增（减）函数，则y=-f（x）在这个区间上为函数；若函数y=f（x）和y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f（x）+ g(x)在这个区间上是。3若函数y=f（x）在闭区间a,b上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值。当f（x）在a,b上递增时，y最大值为，y最小值为；当f（x）在a,b上递减时，y最大值为，y最小值为。智慧课堂例1已知函数上均为减函数，且，求不等式的解集。例2（1）已知函数是区间上的减函数，那么的大小关系如何？（2）已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围。例3求函数的单调递增区间。例4已知函数f（x）a2在区间（，1）上是减函数，求a的取值范围。巩固练习1求下列函数的单调区间:（1）f（x） （2） （3） 分层作业1若函数y=f（x）在区间0, 5上为增函数，比较f(1)与f(3)的大小_。若函数y=f（x）在区间0, 5上为减函数，且f(a)f(b)，则a与b的大小关系为_。2若函数f(x)=x2+2(a1)x+2在区间（，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是_.3求下列函数的单调区间。（1） （2） （3）4已知函数(x)是r上的增函数，a(0，-1)，b(3，1)是其图形上的点，求|(x+1)|0时，f(x)=x22x+3，则f(x)=_.若函数是奇函数，那么实数a=_.设f(x)是r上的奇函数，且当x(0,+)时，f(x)=x(1+)+1，则f(x)表达式为_.6奇函数f(x)在区间3, 7上是增函数且最小值为5，则f(x)在区间-7, -3上有最_值且等于_。7(1)已知函数是偶函数，且函数的定义域为；当时， 求时的解析式。(2)已知是奇函数，且当时，求当时，的表达式.8（1）已知已知函数=（m+1）x2+mx+3为偶函数，求m。（2）是否存在常数m、n使函数f(x)=(m21)x2+(m1)x+n+2为奇函数？9.设是r上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）a是奇函数 b是奇函数 c是偶函数 d是偶函数*10已知，画出下列函数的图象：；学案15 2.1.4 映射的概念预习导引1设a,b两个集合，如果按照某种 ，对于集合a中的 一个元素，在集合b中都有 的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合a到集合b的映射，记作 ；2映射概念是函数概念的 ，函数概念是映射概念的特例。它们的区别就是在对应关系中，函数要求a,b为 ，而映射中的a，b为 。3.结合教材你觉得由集合a=a, b到集合b=1, 2可以构成多少个映射？能用图示法表示出来吗？智慧课堂例1判断图所示的对应中，哪些是到的映射？ 例2下列对应法则中，哪些是集合到集合的映射？理由？（1）；（2）；（3）p=q, s=xx为数轴上的点； f:有理数数轴上的点；（4），。例3（1）设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，集合b中的20与集合a中的哪个数相对应？（2）设集合和都是坐标平面上的点集，映射使集合中的元素映射成集合中元素，则在映射下，a中的对应b中的哪个元素？例4集合a=a, b到集合b=1, 2，3，则集合到可以构成不同映射的个数多少？试用图表示。巩固练习1下列从集合到的对应关系是否是映射？如果不是，请说明理由（1），；（2），的算术平方根2已知集合中的元素都是负数，到的映射：，则满足条件的一个集合为 3已知集合，到的映射，（1）中的元素与中的哪一个元素对应？（2）中哪些元素与中的元素对应？4设从集合到的映射为：，从集合到的映射为：，则由此可得从集合到的一个映射为 5已知集合，到的映射：（1）中的元素与中的哪一个元素对应？（2）中哪些元素与中的元素对应？（3）中是否存在这样的元素，中与它对应的元素就是它自己？若有，请求出这样的元素。6设a=（x,y）x+y3 且x2,xz,yn, b=0,1,2, f: (x,y)x+y, 判断f是否为a到b的映射。7已知集合a=1,2,3,k，b=4,7,a4,a2+3a且an*，kn, xa,yb,映射f:ab使b中元素y=3x+1和a中元素x对应，求a和k的值及集合a，b。8.已知集合，映射是“加2”，求的值。学案16 2.2.1 分数指数幂(1)预习导引阅读教材p4546页，完成下列各题1.关于根式：为奇数时，的次方根只有一个；为偶数时，正数的次方根有两个，负数没有偶次方根。 ； 。2.分数指数幂：我们规定： 这样， ； ； ；3.