2019届高三数学上学期期末试卷含详细答案

2019届高三数学上学期期末试卷含详细答案数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V13Sh，其中S为底面积，h为高圆锥侧面积公式：Srl，其中r为底面半径，l为母线长一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1. 已知集合A0，1，2，集合B1，0，2，3，则AB_2. 函数f(x)lg（3x）的定义域为_3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是_ 4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_5. 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_6. 抛物线y28x的焦点到双曲线x216y291渐近线的距离为_7. 设Sn是等比数列an的前n项的和，若a6a312，则S6S3_8. 已知函数f(x)12x2x，则满足f(x25x)f(6)0的实数x的取值范围是_9. 若2cos 2sin4，2，则sin 2_10. 已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE3EF，则AFBC的值为_11. 已知等差数列an的公差为d(d0)，前n项和为Sn，且数列Snn也为公差为d的等差数列，则d_12. 已知x0，y0，xy1x4y，则xy的最小值为_13. 已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(y2)22.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PAPB，则实数a的取值范围为_14. 设函数f(x)ax3bx2cx(a，b，cR，a0)若不等式xf(x)af(x)2对一切xR恒成立，则bca的取值范围为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos Bbcos C3acos B.(1) 求cos B的值； (2) 若|CACB|2，ABC的面积为22，求边b.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1) 求证：BC平面VCD； (2) 求证：ADMN. 17. (本小题满分14分) 某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计 (1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 18. (本小题满分16分) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的长轴长为4，两准线间距离为42.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点(1) 求椭圆C的方程；(2) 若AEF的面积为10，求直线l的方程；(3) 已知直线AE，AF分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k0)，k.求证：kk为定值 19. (本小题满分16分) 设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464，数列bn满足：对任意的正整数n，都有a1b1a1b2anbn(n1)2n12. (1) 分别求数列an与bn的通项公式； (2) 若不等式112b1112b2112bn12bn1对一切正整数n都成立，求实数的取值范围； (3) 已知kN*，对于数列bn，若在bk与bk1之间插入ak个2，得到一个新数列cn设数列cn的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m.使得Tm2 019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)aln xbx(a， bR)(1) 若a1，b1，求函数yf(x)的图象在x1处的切线方程；(2) 若a1，求函数yf(x)的单调区间；(3) 若b1，已知函数yf(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1x2.不等式a0)恒成立，求实数m的取值范围.数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求函数y3cos2x3的图象在x512处的切线方程22. (本小题满分10分) 已知定点A(2，0)，点B是圆x2y28x120上一动点，求AB中点M的轨迹方程. 23. (本小题满分10分) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13，D是BC的中点(1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1DC1A1的余弦值 24. (本小题满分10分)已知x，y为整数，且xy0，0，2，n为正整数，cosx2y2x2y2，sin 2xyx2y2，记An(x2y2)ncos n，Bn(x2y2)nsin n.(1) 试用x，y分别表示A1，B1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数 数学参考答案1. 0，2 2. x|x2 3. 15 4. 8 5. 33 6. 65 7. 12 8. (2，3) 9. 78 10. 13 11. 12 12. 3 13. 2，2 14. 16，15. (1) 由正弦定理asin Absin Bcsin C，(1分)且ccos Bbcos C3acos B，得sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos B，(3分)则3sin Acos Bsin(BC)sin (A)sin A，(5分)又A(0，)，则sin A0，(6分)则cos B13.(7分)(2) 因为B(0，)，则sin B0，sin B1cos2B1132223.(9分)因为|CACB|BA|c2，(10分)又S12acsin B12a222322，解得a3.(12分)由余弦定理得，b2a2c22accos B94232139，则b3.(14分)故边b的值为3.16. (1) 在四棱锥VABCD中，因为VD平面ABCD，BC平面ABCD，所以VDBC.(3分)因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.(4分)又CD平面VCD，VD平面VCD，CDVDD，则BC平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD是矩形，所以ADBC，(8分)又AD平面VBC，BC平面VBC，则AD平面VBC，(11分)又平面ADNM平面VBCMN，AD平面ADNM，则ADMN.(14分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，所以ABACBC2，(1分)因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120，所以BDC120，(2分)在BDC中，因为BC2BD2DC22BDDCcosBDC，(3分)所以22BD2CD22BDCDcos 120oBD2CD2BDCD2BDCDBDCD3BDCD，则BDCD43，(4分)当且仅当BDCD时等号成立，此时DBCDCB30，BDCD1cos 30233.区域最大面积SSABCSBCD1222sin 6012BDCDsin 120433(平方千米)(7分)(或者：因为直角三角形ABD，ACD全等，区域最大面积SSABDSACD2SABD212ABBD433(平方千米)(7分)(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，在RtBDE中，由(1)知，BDE0，3，(8分)则DE233cos，BE233tan ，AEABBE2233tan ，(9分)所以y2aEDaAE2a233cos a2233tan 23a32sin cos 2a，0，3.(10分)记f()2sin cos ，令f()12sin cos20，解得60，3.(11分)当0，6时，f()0，函数f()为增函数所以当6时，f()取最小值，此时ymin4a(元)(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为433平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元(14分)18. (1)由长轴长2a4，准线间距离2a2c42，解得a2，c2，(2分)则b2a2c22，即椭圆方程为x24y221.(4分)(2) 若直线l的斜率不存在，则EF6，AEF的面积S12ADEF362不合题意；(5分)若直线l的斜率存在，设直线l：yk(x1)，代入得，(12k2)x24k2x2k240，因为点D(1，0)在椭圆内，所以0恒成立设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1，24k2223k222（12k2），(6分)EF（x1x2）2（y1y2）21k2|x1x2|1k2223k2212k2.(7分)点A到直线l的距离d为3|k|1k2，(8分)则 AEF的面积S12dEF123|k|1k21k2223k2212k2323k42k212k210，(9分)解得k1.综上，直线l的方程为xy10或xy10.(10分)(3)设直线AE：yy1x12(x2)，令x3，得点M3，5y1x12，同理可得点N3，5y2x22，所以点Q的坐标为3，5y12（x12）5y22（x22）.(12分)所以直线QD的斜率为k54y1x12y2x22，(13分)而y1x12y2x22k（x11）x12k（x21）x22k2x1x2x1x24x1x22（x1x2）4.(14分)由(2)中得，x1x24k212k2，x1x22k2412k2，代入上式得，(15分)y1x12y2x22k4k284k24（12k2）2k248k248k212k18k223k.则k56k，所以kk56为定值(16分)19. (1) 设等比数列an的公比为q(q0)，因为a12，a2a4a1qa1q364，解得q2，则an2n.(1分)当n1时，a1b12，则b11，(2分)当n2时，a1b1a2b2anbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，由得，anbnn2n，则bnn.综上，bnn.(4分)(2)不等式112b1112b2112bn12bn1对一切正整数n都成立，即112114112n0，当0时，不等式显然成立；(5分)当0时，则不等式等价于112114112n2n11，设f(n)(112)(114)(112n)2n1，则f（n1）f（n）112112n112n22n3112112n2n12n12n32n24n28n34n28n4f(2)f(3)f (n)，所以1f(n)maxf(1)32，则0233，综上233.(8分)(3) 在数列cn中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：(123k)(21222k1)2k（k1）22k14.(10分)当k9时，其和是4521041 0652019，(12分)又因为2 0191 0659544772，(14分)所以当m9(22228)477996时，Tm2 019.即存在m996，使得Tm2 019.(16分)20. 当a1，b1时，f(x)ln xx，(1分)则f(x)1x1，则f(1)1110.(3分)又f(1)1，则所求切线方程为y1.(4分)(2) 当a1时，f(x)ln xbx，则f(x)1xb1bxx，(5分)由题意知，函数的定义域为(0，)，若b0，则f(x)0恒成立，则函数f(x)的增区间为(0，)；(6分)若b0，则由f(x)0，得x1b，当x0，1b时，f(x)0，则函数f(x)的单调增区间为0，1b；(7分)当x1b，时，f(x)0时，函数f(x)的单调增区间为0，1b，单调减区间为1b，.(3) 因为x1，x2分别是方程aln xx0的两个根，即aln x1x1，aln x2x2.两式相减a(ln x2ln x1)x2x1，则ax2x1lnx2x1，(9分)则不等式a0)，可变为x2x1lnx2x1(1m)x1mx2，两边同时除以x1得，x2x11lnx2x11mmx2x1，(10分)令tx2x1，则t1ln t0，ln t0，所以ln tt11mmt0在t(1，)上恒成立，(11分)令k(t)ln tt11mmt，则k(t)（t1）m2t（m1）2t（1mmt）2m2（t1）t（m1）2m2t（1mmt）2，当（m1）2m21，即m12时，k(t)0在(1，)上恒成立，则k(x)在(1，)上单调递增，又k(1)0，则k(t)0在(1，)上恒成立；(13分)当（1m）2m21，即0m12时，当t1，（1m）2m2时，k(t)0，则k(x)在1，（1m）2m2上单调递减，则k(x)k(1)0，不符合题意(15分)综上，m12.(16分)21. 因为y3cos2x3，所以y6sin2x3，(4分)所以函数图象在x512处的切线斜率k6sin5636.(6分)当x512时，y3cos5630，(7分)所以所求切线方程为y06x512，即y6x52.(10分)22. 设点M(x，y)，点B(x0，y0)因为M为AB的中点，所以xx022，yy002，(4分)所以x02x2，y02y.(6分)将点B(x0，y0)代入圆x2y28x120得(2x2)24y24，化简得(x1)2y21.即点M的轨迹方程为(x1)2y21.(10分)23. (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，有ABAC，AA1AB，AA1AC，故可以AB，AC，AA1为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系(1分)因为AB2，AC4，AA13，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)所以DC1(1，2，3)设n1(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量，因为A1B1(2，0，0)，B1D(1，2，3)，所以A1B1n10，B1Dn10，即2x10，x12y13z10，令y13，则x10，z12，所以平面A1B1D的一个法向量为n1(0，