2019届高三文科数学上学期期末试有解析

2019届高三文科数学上学期期末试有解析本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回注意事项：l答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上第I卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A. B. 3 C. 3，7 D. l，7【答案】B【解析】【分析】解出集合A，利用交集概念求解。【详解】由题可得： ，所以 ，故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法及交集运算，属于基础题。2.已知 第三象限角，则 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出 ，从而求出【详解】因为 且 是第三象限角，所以 = ，所以 ，故选：C【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正切定义，属于基础题。3.已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据长轴长求出，由离心率为 求出，从而求出 ，问题得解。【详解】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，又离心率为 ，所以 ，解得： ，则 = ，所以椭圆的标准方程为： 。故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题。4.下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递增的函数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用偶函数定义排除，再利用单调性排除，从而得到答案。【详解】 及 不满足 ，所以它们不为偶函数，从而排除A.C。又当 时， = ，此函数在 内递减，排除B。故选：D【点睛】本题考查了偶函数定义及函数单调性判断，属于基础题。5.“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线 的倾斜角大于 得到不等式，求出的范围，从而利用充分条件，必要条件的定义得解。【详解】设直线的倾斜角为，直线 可化为 ，所以由直线的倾斜角大于 可得： 或 ，即： 或 ，所以 或 ，但 或 故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题6.设m，n是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】B【解析】【分析】在正方体中举例来一一排除。【详解】如下图正方体中， 对于A，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不平行，所以A错误。对于C，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不平行，所以C错误。对于D，令直线 ，直线 ，平面 ,平面 ,但平面 与平面 不垂直，所以D错误。故选：B【点睛】本题主要考查了面面垂直，平行的判定，可在正方体中举例一一排除，或者直接证明某个选项正确。7.已知等差数列 的前n项和为 ，若A. 22 B. 33 C. 44 D. 55【答案】C【解析】【分析】由等差数列 的通项公式表示出 ，得到 ，再表示出 ，整理得解。【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 可化为： ，整理得： ， 故选：C【点睛】本题考查了等差数列 的通项公式及前 项和公式，属于基础题。8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,利用公式求其表面积即可。【详解】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,半圆柱的底面半径为 ，高为2， =故选：A【点睛】本题主要考查了三视图-长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题。还考查了表面积计算，属于基础题。9.已知圆 ，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A、B两点，弦长 最短时直线l的方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列出弦长： （圆心到直线的距离为 ），当 最大时， 最短，此时直线与MC连线垂直，求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可。【详解】由题可知圆 ，所以圆心为 ，半径为 ，设圆心到直线的距离为 ，直线得斜率为 则 ， ，当直线与MC连线垂直时， 最大为 ，此时 最短，且 。所以直线得斜率为： ，又 ，所以 ，所以直线的方程为： ，即： 故选：D【点睛】本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题。10.已知函数 ，若函数 在定义域R上单调递增，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数 在定义域R上单调递增列不等式组求解。【详解】因为函数 ，若函数 在定义域R上单调递增，则 ，解得：故选：B【点睛】本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点。11.已知函数 的图象恒过定点A，若点A在直线 上，其中 的最小值为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】由y=loga（x+3）-1经过的定点为（-2，-1）可得2m+n=4，且mn0，于是m0，n0再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【详解】由y=loga（x+3）-1经过的定点为（-2，-1）于是-2m-n+4=0，得2m+n=4，且mn0，于是m0，n0由2m+n=4可得 则 当且仅当m=1，n=2时等号成立，即 的最小值为 。故応B.【点睛】本题考查了函数图象过定点、基本不等式，考查了计算能力，属于基础题12.如图，已知 双曲线 的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接 ,由题可得四边形 为矩形，解三角形 可得 ，利用双曲线定义列方程，整理方程即可.【详解】如图，连接 ,由双曲线的对称性可得四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，在三角形 中， ， 又 ，所以 ,所以 ， ，又 ，整理得： ，整理得：故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，定义，还考查了解三角形知识，属于中档题。第卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题。每小题5分，共20分13.已知向量 _【答案】-2【解析】【分析】求出 的坐标，根据 列方程求解即可【详解】因为向量 ，所以 = ，又 ，所以 ，解得：【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示及向量的坐标运算，属于基础题。14.已知实数 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】由z=x-2y得 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 ， 的截距最小，此时z最大，由 ，得A（1，0）代入目标函数z=x-2y，得z=1-20=1，故答案为：1【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法15.如图，在正方体 中，直线 与平面 所成的角等于_ 【答案】【解析】【详解】正方体 中，连接 交 于点M，连接 ， 由题可得： ， ,所以直线 平面 ,所以直线 与平面 所成的角等于 ,设正方体 的边长为，所以 ， ，所以 ,所以【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。16.定义在R上的函数 ，满足 时， ，则方程 上的实数根之和为_【答案】【解析】【分析】由 可判断函数 是奇函数且函数图像关于直线 对称，还可得函数 是周期为4的函数，求方程在一个周期内的根，再利用周期性求得所有满足要求的实数根，问题得解。【详解】因为 ，所以 = = ，即：所以函数 的周期为4。 时， ，所以当 时，因为函数在 上单调递增，所以在 上 有且只有一解 ， 时， 无解。即 在 内只有一解：因为函数 满足：所以函数 的图像关于直线 对称，可得：所以 在 内的解有两个 ， ，即在一个周期内满足 的解有两个 ， ，由函数 的周期为4可得： ， ，所以方程 上的实数根分别为 ，其和为： .【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，函数的轴对称性及单调性，周期性，考查了转化思想。只需要求出一个周期内的满足 的解即可利用周期性求出所有的解，从而解决问题。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数 (1)求函数 的单调递增区间；(2)将函数 的图象向右平移 个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 的图象，求函数 的最值【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）化简函数为 ，求出使得 最大的一个自变量 ，利用正弦型函数图像的特点写出单调增区间即可。（2）求出将函数 的图象向右平移 个单位，横坐标缩短为原来的 倍后得到的函数 的表达式，再利用正弦函数性质求出函数 的最值即可。【详解】（1）因为 ，所以 = ,令 ，解得： ，即 ，所以函数 的单调递增区间为： 。（2）函数 的图象向右平移 个单位，横坐标缩短为原来的 倍后得到： ，所以 ，当 时， ，此时 的最大值为 ，最小值为【点睛】（1）本题考查了 （或 ）类型函数的单调区间问题，先利用条件确定好 ，再求出使 的 的值，从 往前半个周期即 是函数 的一个增区间，从 往后半个周期即 是函数 的一个减区间，即可求得函数 的增区间为 ，函数 的减区间为（2）考查了平移，伸缩变换知识，还考查了三角函数的性质，转化思想。属于中档题，计算要认真。18.已知数列 的前n项和为 ，且 (1)求证：数列 是等比数列；(2)记 ，求数列 的前n项和 【答案】（1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明。（2）利用条件（1）求出 ，从而求出 ，根据 形式，利用列项相消法求和。【详解】（1）因为 ，所以 ，两方程作差得： ，整理得： ，从而 ，所以数列 是等比数列，公比为 。（2）令 ，则 可化为： ，解得： ，因为数列 是等比数列，所以 ，所以 ，所以 = ，所以 = ，所以= =【点睛】（1）主要考查了赋值法， 法及等比数列概念，注意计算不要错误。（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式。19.已知 分别为 三个内角A，B，C的对边，且 (1)求cosA的值；(2)若 是BC边上一点，且满足BD=3DC，求 的面积【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）将 化简可得： ，再化简可得 ，从而求得 。（2）求得 ，根据BD=3DC，求得 的比例关系，从而求解。【详解】（1）由正弦定理 可得： ，代入 可得： ，整理得： ，所以 ，即 ，整理得： .（2）因为 ，所以 ，所以 ，因为BD=3DC，所以 ，所以 。【点睛】（1）主要考查了正弦定理及两角和的正弦公式，计算比较简单。（2）主要考查了同角三角函数基本关系，三角形面积公式及转化思想20.如图1，菱形ABCD中，AB=2， ，以对角线BD为折痕把ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使 . (1)求证： ；(2)求三棱锥EBCD的体积【答案】（1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）先证明 ,再证明 平面 ,从而证明（2）把三棱锥EBCD拆分成两个三棱锥，求体积和即可。【详解】（1）菱形ABCD中可得： ，以对角线BD为折痕把ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，则 ， ,又 交于点 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 。（2）由（1）得 平面 ，所以 ,菱形ABCD中，AB=2， ，求得： , ,所以= 。【点睛】（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想。（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心。21.已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且 ，直线AO，BO分别交直线 于点M，N.(1)求抛物线C的方程；(2)求 的最小值【答案】（1） ； （2）2 .【解析】【分析】（1）设 ， 及直线 的方程为： ，联立直线 与抛物线 的方程，利用韦达定理表示出 ， ，从而表示出 ，代入 即可求得 ，问题得解。（2）表示出直线 的方程 ， ，从而表示出 点的坐标 ， ，从而表示出 ，消元即可得到 的函数表达式 ，从而转化成求函数的最小值即可。【详解】（1）抛物线 的焦点为F ， ，设直线 的方程为： ，联立直线 与抛物线 的方程可得： ，整理得： ，所以 ， ， = ，因为 ，且 ，所以 ，即 ，解得： 。所以抛物线C的方程为： 。（2）直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，联立 得： ，所以 ，联立 得： ，所以 ，所以 = ，所以 = ，当 时，等号成立。所以 的最小值为2.【点睛】（1）主要考查了设而不求方法，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出 ， ，还考查了数量积的坐标运算，方程思想，转化思想，计