角平分线的性质与判定.ppt

11.3角平分线的 性质与判定 A D B C E 赵芸 不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ A O B C 活 动1 再打开纸片再打开纸片 ，看看折，看看折 痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？ （对折） 1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗? 活 动2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ p2、证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义） A DB C E 根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器） O A B C E 活 动3 N O M C E N M 1平分平角AOB 2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把 它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB 是什么关系？ 3结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。 活 动4 AB O C D 探究角平分线的性质 (1)实验：将AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 ？ 活 动5 (2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 12 已知：如图，OC平分AOB，点P在OC 上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE 探究角平分线的性质 活 动5 (3)验证猜想 角平分线上角平分线上 的点到角两的点到角两 边的距离相边的距离相 等。等。 (4)得到角 平分线的 性质： 活 动5 利用此性质 怎样书写推理过 程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知） PD=PE（全等三角 形的对应边相等） P A O B C E D 12 ， O A B E D 思考 ： 如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为 什么 ? C P PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等 思考： 要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 公路 铁路 活活 如图：在ABC中， C=90 AD是BAC的平分线 ，DEAB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB A CD E B F 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 试试自己写 证明。你一 定行！ 做一做 驶向胜利 的彼岸 w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. w求证:EB=FC. 老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去. B A E D C F 例 已知：如图，ABC的角 平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等. n证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F nBM是ABC的角平分线，点P在BM上 （已知） nPD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距 离相等） n同理 PE=PF. n PD=PE=PF. n即点P到边AB、BC、CA的距离相等 D E F A BC P M N 练习：如图，的的外角的平 分线与的外角的平分线相交于 点求证：点到三边， 所在直线的距离相等 F G H 一、过程小结： 情境观察作图应用探究再应用 二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？ 回味无穷 w 定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. w OC是AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PDOA,PEOB, 垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个 角的两边距离相等). w 用尺规作角的平分线. 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角平分线上。 已知：PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E ， PD=PE. 求证： 点P在AOB的平分线上。 角平分线的判定定理 A O B P D E C 用符号语言表示为： PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 . 由上面两个定理可知：到角的两边的距离 相等的点，都在这个角平分线上；反过来 ，角平分线上的点到角的两边的距离相等 。 角的平分线是到角的两边距离相 等的所有点的集合. 练一练 填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _) A C D E B 1 2 1= 2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.已知：如图，C= C=90 AC=AC 求证（1） ABC= ABC ； （2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定） B C A C 例1 已知：在等腰RtABC中，AC BC C90，AD平分 BAC，DEAB于点E。 求证：BDDE AC 变式 已知AB 15cm, 求DBE的周长 E DCB A 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 拓展与延伸 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 拓展与延伸 3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上. A A