弹性力学温度应力问题的基本解法.ppt

当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。 忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍 。 6-4 按位移求解温度应力的平面问题按位移求解温度应力的平面问题 6-3 温度场的边界条件温度场的边界条件 6-2 热传导微分方程热传导微分方程 6-1 温度场和热传导的基本概念温度场和热传导的基本概念 6-5 位移势函数的引用位移势函数的引用 6-6 轴对称温度场平面热应力问题轴对称温度场平面热应力问题 t+2t t+t t t-t xo y 3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 量。用 t表示，其大小用 表示。其中n为等温面的法线方 向。温度梯度在各坐标轴的分量为 取 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有 t （1） 其大小为 (2) 5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反 。即 (3) 由（1）和（3）可见，热流密度的大小 可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。 称为导热系数。由（1）、（2）、（3）得 t 热流密度在坐标轴上的投影 可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以 温度在该方向的递减率。 热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。 x y z 将 代入可见： 由左右两面传入的净热量为 由上下两面传入的净热量为 由前后两面传入的净热量为： 因此，传入六面体的总净热量为： 简记为： 化简后得： 记 则 这就是热传导微分方程。 第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即 对于平面应力的变温问题，上式简化为 这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。 几何方程仍然为： 将上式代入不计体力的平衡微分方程 简化得： 这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。 同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件 （1） 简化后得： 这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。 位移边界条件仍然为： 将式(1)、(2)与第二章2-8中式(1)、(2)对比，可见 （2） 则得到在平面应变条件下的相应方程 。 代替了面力分量 及 。 对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面 应力问题的 引用一个函数 ，将位移特解取为： 由于 和 都是常量，所以取： 时， 满足微分方程。因此 ， 可以作为微分方程 的一组特解。将以及 代入位移分量和变温t表示的应力分量表达式 可得相应位移特解的应力分量是： 设 ， 为位移的补充解，则 ， 需满足齐次微 分方程： 总的应力分量是： 需满足应力边界条件。在应力边界问题中（没有位移边界条 件），可以把相应于位移补充解的应力分量直接用应力函数 来表示，即 其中的应力函数 可以按照应力边界条件的要求来选取。 在平面应变条件下，将上述各方程中的 这样总的位移分量是： 需满足位移边界条件 x y o aa b b 解：位移势函数 所应满足的微分方程为 比较两边系数，得 代入上式，得 取 将a，b回代，得位移势函数 于是相应于位移特解的应力分量为 为求补充解，取 可得所需要的相应于位移补充解 的应力分量： 因此，总的应力分量为 边界条件要求 显然，后三个条件是满足的；而第一个条件不能满足，但由 于 ，可应用圣维南原理，把第一个条件变换为静力等效 条件，即，在 的边界上， 的主矢量及主矩等于零； 将 代入上式，求得 于是矩形板的温度应力为： 在轴对称问题中得到简化，其第二式自然满足；而第 一式成为 几何方程简化为 物理方程简化为 将几何方程代入上式，然后将其代入平衡方程，得按位 移求解轴对称热应力的基本方程： 积分两次可得到轴对称问题位移分量： a b 对于轴对称温度场有 或 由边界条件： 习题6.1 图示矩形薄板中发生变温 试求温度应力（假定a远大于b） x y o 解： 取 可解得 所以 由此得 取 则 所以 边界条件 显然满足 由 即 得 而边界条件 恒成立。 故 习题6