高等数学曲面积分与曲线积分重点难点

第 1 页 共 46 页 第十二章 曲线积分与曲面积分 一基本要求 1正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。 3掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。 4掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。 5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、 功及流量等）。 二主要内容 (见第二页至第十三页 ) 1 主要内容联系（框图） 2 曲线积分和曲面积分（表格） 3 曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5 在平面区域 G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6 全微分方程（框图） 7 注解（注一至注十）（表格） 三考点与难点 考点： 1两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。 2格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。 四例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例 1 至例 15 五部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题 （一）至习题（十五） 六试卷 （见第三十一页至第三十八页） 试卷 )(A 、试卷 )(B 、试卷 )(C 七试卷答案及题解 （见第三十九页至第四十六页） 试卷 )(A 、试卷 )(B 、试卷 )(C 答案及题解 第 2 页 共 46 页 二主要內容 1。主要内容联系（框图） （化为） 二重积分 （化为） 三重积分 曲线 积分 （化为）定积分 联系 联系 联系 高斯 公式 联系 联系 联系 联系 联系 联系 两类曲线积分之间联系公式 （化为）二重积分 散度、通量。 参见注解之注九 旋度、环流量。 参见注解之注十 （物理意义） 在平面区域G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件 全微分方程 求全微分函数 曲面 积分 两类曲面积分之间联系公式 直接法参见解题步骤及注解之注三 推广 特殊 斯托克斯公式（空间上） 意义 意义 直接法参见解题步骤及注解之注四 直接法参见解题步骤及注解之注七 直接法参见解题步骤及注解之注八 对弧长的 曲线积分 应 用 对坐标的 曲线积分 格林公式（平面上） 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 第 3 页 共 46 页 2曲线积分和曲面积分（表格） （ A）两类曲线积分及相互之间联系 类型 积分类型 内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 平面： L ,( ni ( 空间： ,( ni ,( ,L （ 光滑曲线弧） 积分弧段 ),( 在 L 上有界） 被积函数 ),( 在 上有界） 被积函数 参见注解之注一（第 12 页） 平面： L ,( ni ( L ,( ni ( 空间： ,( ni ,( 类似定义： ,(、 ,(。 ,L （ 光滑有向曲线弧） 积分弧段 ),(),( 在 L 上 有界） 被积函数 ),(),(),( 在 上 有界）被积函数 参见注解之注二（第 12 页） 几何意义及 物理意义 平面： L ,(；空间： ,(1) 当被积函数为 1 时是曲线弧 L 或 的弧长。 (2) 平面：当 ),( 负，为与 z 轴平行的柱面侧面积。 柱面底是 L ，高是 ),( 。 (3) 线密度为被积函数的曲线弧 L 或 的质量。 L ,(),( 变力 ),(),(),( 沿有向曲线 L 所作的功 ,(),(),( 变力 ),( 沿有向曲线 所作的功 向量形式 ),( ， n i j L L c ),( i j k c ),( ,n 的定义见左侧。 L L Q ),( ， 的定义见左侧。 R 第 4 页 共 46 页 性质 1 L ,(),( LL ,(),( （ , 为常数） 2 1 2 ),(),(),( L LL 21 ） 3设在 L 上 ),(),( ，则 LL ,(),( 特别地 LL ,(),(1 L ),(),( 21 LL ),(),( 21 （ , 为常数） 2 L ),( 11 2 ),(),(L L （ 21 ， L 与 21,方向一致） 3 L 是 L 的反向曲线弧，则 L ),( L ),( 解题方法 1 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第 7 页、第 12 页）。 2 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。 1， 直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注四（第 7 页、第 12 页）。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（ 选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第 10 页）。 2， 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。 3， 公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第 9 页）。 两类曲线积分之间的联系 L L d yP d x )c o sc o s( （平面上） d zQ d x )c （空间上） 。 。 i j k 是有向曲线 在点 ),( 的单位切向量 或 第 5 页 共 46 页 （ B）两类曲面积分及相互之间联系 类型 内容 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 ),(,(10 （光滑曲面） 积分曲面 ),( 在 上有界） 被积函数。 参见注解之注五（第 12 页）。 xd )(,(,(10 yd )(,(,(10 x d )(,(,(10 （光滑有向曲面） 积分曲面 , （在 上有界） 被积函数。 参见注解之注六（第 13 页）。 几何意义及 物理意义 当 1),( 空间薄片 的面积。 面密度为 ),( 空间薄片 的质量。 流速 ),( 的流体 （不可压缩）在单位时间穿过有向曲面 的通量（流量）。 向量形式 ),( ),(),(),( n i j k ),( c o sc o sc o s c ),( ),(),(),( n i j k R d xd yQ d zd xP d yd z 第 6 页 共 46 页 性质 1,(),( ,(),( （ , 为常数） 2 ,( 1 2 ),(),( )( 21 3在 上 ),(),( ，则 ,(),( 特别地 ),(),( 1 ),(),( 21 ),(),( 21 （ , 为常数） 2 ),( 21 ),(),( （ ,21 与 21, 的方向一致） 3 是 取相反侧的有向曲面，则 ),( ),( 解题方法 1 直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注七（第 8 页、第 13 页）。 2 联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。 3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。 1 直接法：化为重积分。参见解题步骤及注解之注八（ 第 8 页、第 13 页）。 2 联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。 3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）。 两类曲面积分之间的联系 R dx d zd xP dy d z c o sc o sc o s( 。 kd x d zd y d n i j k 是有向曲面 在点 ),( 的单位法向量 或 第 7 页 共 46 页 3曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图） (A)曲线积分 (直接法 ) 第五步 定积分的计算式 （ u 为 , 中之一） 对坐标 u 的曲线积分为零 不得选取 u 为积分变量 ()( 曲线弧两端点对应于参数 。 。 曲线弧起点和终点分别对应于参数 。 t ： 第四步 曲线弧上的被积函数化成关于 t 的函数 第三步 确定积分元素 第一步 曲线弧在 u 轴投影为零 （曲线弧：其中 u =常数） ()( 第二步 曲线弧在 t 轴投影非零 确定 t 的变化范围。 曲线积分解题步骤 对坐标的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 )(),( （平面上） )(),( (空间上 ) ()( 22 (平面上 ) ()()( 222 （空间上） ( )(),( （平面上） )(),( (空间上 ) ( ( 第 8 页 共 46 页 （ B）曲面积分（直接法） 曲面积分解题步骤 对面积的曲面积分 对坐标的 曲面积分 选取其它坐标面 以投影区域作为积分区域 D 221 ),(),(),( D ),()(第一步 曲面在坐标面上投影为零 对坐标的曲面积分为零 以投影区域作为积分区域 D 由曲面的方向确定曲面在坐标面上投影的正负号 )( 。 第二步 曲面在坐标面上投影非零 确定曲面在坐标面上的投影区域（不妨坐标面为面） 第三步 确定积分元素 第四 步 曲面上的被积函数化成 关于积分区域上的函数 第五步 二重积分的计算式 ),(),( D ),(),(第 9 页 共 46 页 4 格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格） 类型 内容 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数),( ),( D 上具有一阶连续偏导数，则有 设空间闭区域 是由分片光滑的闭 曲面 所围成。函数 ),(),(),( 在 上具有一阶连续偏导数，则有 设 为分段光滑的空间有向曲线，函数 ),(),(),( 在曲面 （连同边界 ）上具 有一价连续偏导数，则有 公式 D ( L 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。 ( R d xd zd xP d yd z c o sc o sc o s( 这里 是 的整个边界曲面的外侧。 c os,c os,c 上点 ),( ( ( ( R 是以 为边界的分片光滑的有 向曲面。 的正向与 的侧符 合右手规则。 向量形式 kd x d zd y d n i j k 是 在点 ),( 的单位法向量。 或 iv n , 的定义可见左侧 i j k 是 在点 ),( 的单位切向量。 或 n )( 意义 几何应用 设由闭曲线 L 所围成的区域 D 的面积为 L L L 物理意义 向量场 A 通过有向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场 A 的散度在有向闭曲面 围成区域 上的三重积分。 参见（注九） 物理意义 向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场 过 所张的曲面 的通量（流量）。 参见（注十） 第 10 页 共 46 页 5在平面区域 G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） G 1定义：对于区域 G 内任意指定的两个点 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两曲线 21,等式 1 2L L Q d yP d xQ d yP d x 恒成立 2沿区域 G 内任意闭曲线 L 的曲线积分为零。 即 L 等价 ， ),( ),(),( 单连通域 G 内具有一价连续偏导数 牛顿 莱布尼兹公式： ),( ),( 112222 1,1 ),(),(),(),(yx yx 其中 ),( 11 路径的起点， ),( 22 终点 ),(),( 2211 ,(),( 在 G 内为某一函数 ),( 全微分。即 存在 ),( ,(),(),( ， ),( ),(),( 单连通域 G 内具有一价连续偏导数。 等价 等价 ),(),( 单流通域G 内具有一价连续偏导数。 第 11 页 共 46 页 6全微分方程（框图） 求法一 d yP d , )( yP 。 )( yP d ， 即 (。 ),(),(),(),( 。 求法二 牛顿 莱布尼兹公式： ),(),( 1122221,1 ),(),(),(),( 0 ),(),(),( 0或 0 ),(),(),( 0 这里 ),(),(),(),(221100 内。 存在 ),( ， ),( 使 ,(),(),( ),(),(),(),( 0),(),( ),(),(),( )()( 存在 ),( (称为积分因子 ) ,(),( 在区域 G 内具有一价连续偏导数 全微份积分法 ),( 求法 全微分方程求解 0),(),( ),( 所确定的隐函数是方程的通解 . (C 是任意常数 ) 第 12 页 共 46 页 7注解（注一至注十）（表格） 注一 L 上任意插入点列 121 , 为 L 上第 i 个小弧段长度， ),( 为 L 上第 i 个小弧段任意取定点。 )(s 。 注二 L 上任意插入点列 ),(,),(),( 1112,22111 M 1 ),;,0 n 。11 , L 上M 1的长度。 ),(为 L 上M 1任意取定点。 )(s 注三 L （参数方程）：),(),( )( t 。 )()()(),(),( 22L （特殊地）： )( )( 0 。 0 )(1)(,),( 2L （特殊地）： )( )( 0 。 0 )(1),(),( 2空间曲线弧 （参数方程）： )(),(),( )( t 。 )()()()(),(),(),( 222 注四 L （参数方程）：),(),( （参数 t 由 变到 。 对应于 L 的起点， 对应于 L 的终点）。 t( ： ） L )()(),()()(),(),(),( L （特殊地）：):()( ()(,)(,),(),( L （特殊地）： ):()( ),()(),(),(),( 空间曲线弧 （参数方程）： )(),(),( 。 ):( t 。 ,(),(),( ()(),(),()()(),(),()()(),(),( 注五 任意分成 n 小块曲面 （ 也代表第 i 小块的面积）。 ),( 在 上任意取定点。 i 为 的直径 ),2,1( 。 )( 第 13 页 共 46 页 注六 任意分成 n 小块曲面 （ 也代表第 i 小块的面积）， ),( 在 上任意取定点， i 为 的直径 ),2,1( ， )( 。 上的投影为(, 上的投影为(, 上的投影为(。 注七 ： ),( 。 在 上投影区域： d xd ).(),(1),(,),( 22 ： ),( 。 在 上投影区域： d y d ).(),(1,),(),( 22 ： ),( 。 在 上投影区域： d z d ).(),(1),(,),( 22注八 ： ),( 。在 上投影区域 d x d x d ),(,),( 下侧取负上侧取正 ： ),( 。在 上投影区域 d y d y d ,),(),( 后侧取负前侧取正 ： ),( 。在 上投影区域 d z d z d ),(,),( 左侧取负右侧取正 注九 ),(),(),(),( 。 向量场 A 的散度： （散度为数量）。 向量场 A 通过曲面 （向着指定侧）的通量（流量）： （ 。 注十 ),(),(),(),( 。 向量场 A 的旋度： o t )()()(（旋度为向量）。 向量 A 沿有向闭曲线 的环流量： （ 或 。 第 14 页 共 46 页 四例题及题解 （一） 曲线积分和格林公式： 例 1 计算曲线积分 L (，其中 L 是顶点为 )0,0(),1,0(),0,1( 三角形 边界。 解： )0:)0:)1: L O OA ()()()( 122 10 1010 d 例 2 计算曲线积分 L (， L 为上例曲线的有向曲线，方向取逆时针。 解法一：。 。 ： 01 ， 0 ： 01 ， 0 ： 10 。 直 y 轴 , 即 0)( OA 100110 y d 解法二：由 L 围住的三角形区域 D 的面积为21。 ),(,0),( 。 应用格林公式： L ( xd yd xd 1)10()( 例 3 椭圆曲线弧 L ： 19422 线密度为 2)123( 写出曲线弧长 l 的定积分形式。求曲线弧 L 的平均密度 。 解：由弧长 的曲线积分的物理及几何意义， 曲线弧的质量为 m L 弧长 l 椭圆曲线弧 L 的参数方程： )20(,s co 22222 c i c s i n(4 （ 0 L O OA ()()()(第 15 页 共 46 页 弧长 l 20 22 co 23( 1461249146)23( 222 当 ),( 时， 374612 ，因为曲线弧关于 x 轴和 y 轴对称， 12 关于 x 轴、 于 y 轴为奇函数，在 L 上积分为零， 故 L 737)374612(， 37 。 例 4 计算 L 。其中 L ：椭圆曲线 14922 第一象限部分顺时针方向的一段。 解法一：直接计算 L：椭圆曲线参数方程 )20(s 由方向知 02: L c o s2)s c o 8 解法二：利用格林公式。曲线为非封闭，补充曲线作 , C L B O O A , )0,3(),2,0(),0,0( 点 ,标。 因为 )1,(,02 C 2即 0 L A L 80230 22 O 。 （二） 曲面积分和高斯公式： 例 5 计算 ,(。其中 是 面上方的抛物 )(2 22 。且),( 别等于（ A） 1;（ B） 22 ; （ C） 3z . 并给出上述每种几何或物理解释。 解：坐标面选取 面，投影区域 D ： 222 )(2),( 22 ， ,2 第 16 页 共 46 页 面积元素 d x x (411 2222 . 解 )(A 当 1),( 31341)(412020222 r d xd 。 表示曲面 的面积，也表示面密度为 1 的曲面 的质量。 解 )(B 当 22),( ， d x d )(41)()( 22222231494120 20 23 2 的曲面 的质量，也表示面密度为 1 的曲面 对 z 轴的转动惯量。 解 )(C 当 ),( dx )(41)2(33 22221011141)2(320 20 22 r d 曲面 的质量。 例 6 计算 ,(， 为上例有向曲面，取下侧方向。 ),( 别 等于 )(A 1， )(B 22 ， )(C 3z 解：在 标面的投影区域 D ： 222 上侧取负号。 解 )(A 当 1),( ( , , ) 2Df x y z d x d y d x d y d x d y 。 解 )(B 当 22),( d x d x d (),( 22 20 20 322 2)( x d 解 )(C 当 ),( 22( , , ) 3 3 ( 2 )Df x y z d x d y z d x d y x y d x d y 第 17 页 共 46 页 20 20 222 3)2(3)2(3 r d x d 例 7 计算 ( 22， ：由锥面 22 ，平面 1z 及 0x 所围在第一、四卦限部分闭曲面外侧。 解法一：直接法， 1 2 3 。 1 ： 22 。 2 ： 0x ， 3： 1z 。3在 面上投影为零。 1 、 2 在 面上投影为三角形区域。 D ： 10, 1 为前侧 )( 22 ， 2 为后侧 )0( x 。 10 10 222222 31)( z z z yd yd yd 用高斯公式。 注意到 0),(,0),(,).,( 22 0,0,2 曲面为外侧， 为 所围住的空间区域，应用高斯公式。 2 2 10 122 31c r dx dy （三）斯托克斯公式及两类曲面积分之间联系： 例 8 设 C 为 面上的闭曲线， C： 00),( 曲面 为平面 2 被柱面 0),( 所截有限部分的下侧。 C 所围区域 D 面积为 。计算 dx ()3()2( 解：平面 2 下侧的单位法向量 1 1, 1, 1 ,3将原式化为对面积的曲面积分，然后再化到关于 坐标的二重积分。 原式 D d xd 6()6(31)324(31 D 66 。 第 18 页 共 46 页 例 9 计算 L 3()2()( 22222，其中 L 是平面 2 柱面 1 交线，从正轴正向看去， L 为顺时针方向。 解：可知 L 所围成的曲面 为平面 2 L 所围成部分的下侧。由斯托克斯公式得 L 3()2()( 22222 dx 22()62()42( d x z d y ()3()2(2 D ： 1 0z 。 区域 D 的面积 2 。 由上例知原式 24)6(2 。 （四）关于曲线积分与路径无关条件及全微分求积： 例 10 已知 ),( 面具有一阶连续偏导， ),(),(2 x 且 2),0( L 是从点 )1,0(A 至点 )3,2(B 的曲线弧。 求（ 1）确定 ),( （ 2）求 ),( （ 3）计算 L ,(2解：（ 1）设 ),( ，由曲线积分与路径无关条件 )(),( 2 )(02 y 2),0( 2)( 即 22),( 。 （ 2） ( , )( 0 , 0 ) 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , 0 ) ( , )x y x yU x y P x y d x Q x y d y P x d x Q x y d y y 222 3)( （ 3） L ,(2 322031912)1,0()3,2( 1 设区域 0),( 。微分方程微分方程： 0)2( （ 1） 验证2)(1是所给微分方程在 G 上的积分因子。 第 19 页 共 46 页 （ 2） 利用曲线积分求2)()2( yx 的全微分函数 ),( （ 3） 写出所给微分方程的通解。 解（ 1）设22 )(,)(2 yx 。3)(2 yx 。 ),( 2)()2( yx 是全微分方程。故2)(1是微分方程积分因子。 （ 2）2)()2( yx 是全微分方程。故 L 2( 在区域 G 内与路径无关。取 )0,1( 到 ),( 折线（折线属于 G ） x 0),( )0,1( ),()0,(),(),(),( x 0 20 210 21 2 )()(1)( 1ln)l n (ln)l n ( 1) yx 或取 )1,0( 到 ),( 折线 （折线属于 G ） x 1),( )1,0( ),0(),(),(),(),( yx x 0 120 21 20 2 1)()()( 2 l n (ln)l n (100 yx )（ 3）通解为 )。 C 为任意常数。 第 20 页 共 46 页 （五）对弧长的空间曲线积分 例 12 计算 2，其中 ： 02222解：由积分曲线对于坐标的轮换对称性可得 22因此 22222 31)(31 由于 是以原点为中心，半经为 a 的圆。其周长为 2故 322 。 例 13 设空间曲线弧 为 球面 2222 及平面 的交线。曲线弧 的线密度 2),( ，求曲线弧的质量 m 。 解： 化为参数方程： 20 t 。 曲线弧的质量 20 222220 22 2s i s i n(2c i n t （六）选择题 例 14 设 为平面 1432 342( =（ ）。 （ A） )21(30204x （ B） 30203614 （ C） )21(30203614 x （ D） 30)13(203614 解：选 C ， 424 ， 361)34()2(11