浙江专版高考数学第5章数列热点探究课3数列中的高考热点问题教师用书.docx

热点探究课(三)数列中的高考热点问题命题解读数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等热点1等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和解(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.2分又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.6分(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列.10分设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.15分规律方法1.若an是等差数列，则ban(b0，且b1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b0，且b1)是等差数列2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化对点训练1已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.若a10，则Sn0.当n2时，anSnSn1000，所以an0(n1).2分若a10，则a1. 当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当a10时，an.6分(2)当a10，且100时，令bnlg，由(1)知，bnlg2nlg 2.9分所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2.b1b2b6lglglg 10，当n7时，bnb7lglg，12分所以Tn2.综上可得，对任意的nN*，均有Tn.14分规律方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1已知数列an是等比数列，a24，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2log2an1，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，因为a24，所以a34q，a44q2.2分因为a32是a2和a4的等差中项，所以2(a32)a2a4.即2(4q2)44q2，化简得q22q0.因为公比q0，所以q2.所以ana2qn242n22n(nN*).6分(2)因为an2n，所以bn2log2an12n1，所以anbn(2n1)2n，7分则Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1.由得，Tn222222322n(2n1)2n122(2n1)2n16(2n3)2n1，所以Tn6(2n3)2n1.14分2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn.解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.2分又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S131221615，所以an6n5(nN*).6分(2)由(1)得bn，10分故Tn.14分3(2017宁波镇海中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S36.正项数列bn满足b1b2b3bn2Sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若bnan，对nN*均成立，求实数的取值范围解(1)等差数列an中，a11，S36，d1，故ann.2分由得bn2SnSn12an2n(n2)，b12S1212，满足通项公式，故bn2n.6分(2)bnan恒成立，即恒成立，8分设cn，则，当n1时，cn1cn，cn单调递减，(cn)maxc1，故，的取值范围是.14分4已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e2，证明：e1e2en. 【导学号：51062179】解(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立，所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列.3分从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，即2q23q2，则(2q1)(q2)0.由已知，q