大一高数知识点总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 56 大一高数知识点总结 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量 x 与 y，如果对于变量 x 在实数集合 D 内的每一个值，变量 么就称 x 是自变量， y 是 x 的函数 ，记作 y=f，其中自变量 x 取值的集合 D 叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 解析法 即用解析式表示函数。如 y=2x+1, y= x ，y=lg,y=。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。 列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数 即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1?2x?1, x?0?f?x?y?x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 56 ?2x?1,x?0?0 x?0 x?0 隐函数 相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数 ，即直接用含自变量的式子表示的函数，如 y=x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量 x、 y 之间的函数关系式是由一个含 x， y 的方程 F=0给出的，如 2x+， y=3该隐函数可化为显函数。 参数式函数 若变量 x, x?y 而由 2x+?x?y?0 等。 ?x?t?， ?t?T?给出的， ?y?t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程， t 称为参数。 反函数 如 果在已给的函数 y= x 也是 y 的函数，则所确定的函数 x=叫做 y=f 的反函数，记作 x= 或 y= . 二、函数常见的性质 1、单调性 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 56 2、奇偶性 =f；奇：关于 y 轴对称， f= 3、周期性=f， T 为周期） 4、有界性 2、复合函数 如果 y 是 u 的函数 y=f,而 u 又是 x 的函数 u=，且的值域与 f 的定义域的交非空，那么 y 也是x 的函数，称为由 y=f 与 u=复合而成的复合函数，记作y=f)。 3、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式 总成本函数 总成本 =固定成本 +变动成本 平均单位成本 =总成本 /产量 总收益函数 销售总收益 =销售价格产量 总利润函数 总利润 =销售总收益 需求函数 若其他因素不变，需求量 Q=f &函数的极限 一、数列的极限 对于无穷数列 当项数 n 无限增大时，如果 限接近于一个确定的常数 A，则 A 为数列 极限，记为 a=A，或当 n时， 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 56 A。 n n 数列 在极限，也称数列 敛，例如 ?0， C?C， q=0q?1) 。 n 若数列 有极限，则称数列 散。 数列极限不存在的两种情况： 数列有界，但当 n时，数列通项不与任何常数无限接近，如： ?1? n?1 ； 数列无界，如数列 二、当 x 0 时，函数 f 的极限 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f 无限地接近一个确定的常数 A，那称 A 为函数 f 当 x时的极限，记作 f?x?A，或当 x时， f A。 x? 单向极限定义 如果当 x?或 ?x?时，函数 f 无限接近一个确定的长寿湖 A，那么称 A 为函数 f 当 x?或 ?x?时得极限，记作 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 56 ?。 ?f?x?A?x?n? 三、当 X 数 f 的极限 1、当 X 数 f 的极限定义 如果当 x 无限接近数 f 无限接近于一个确定的常数 A，则称 A 为函数f 当 X 作 f?x?A，或当 X f A。 n? 2、当 X 数 f 的左极限和右极限 如果当 X 数 f 无限接近一个确定的常数 A，则称函数 f 当 X 的左极限为 A，记作四、无穷大与无穷小 1、无穷大与无穷小的定义 ? ?f?x?x?x0?x?x0 A?。 ? 果当 X f 0，就称 f 当 X 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 56 记作 f?x?0；如 x?当 X ， f 的绝对值无限增大，就称函数 f 当 X 作 f?x?。其中，如果当 X ， f 向正的方向无限增大，就称函数 f 当 X x?x0 作 f?x?；如果当 X f 向负的方向无限增大， x?称函数 f 当 X 作 2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果 f 为无穷大，那么 f?x?。 x? 为无穷小；反之，如果 无穷小，那么 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 56 为无穷大。 f 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质 性质 1：有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质 2：有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质 3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较 设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作 a=o； a =0，则称 a 是比 b 低阶的无穷小； 果 , 则称 a 是比 b 高阶的无穷小； b 如果 a =c,则称 a 是比 b 同阶的无穷小。 b a 特别的，当 c=1,即 时，称 a 与 b 是等阶无穷小，记作 a b。 b 如果 极限运算法则 法则一 若 u=A， v=B，则 u v=A B; 法则二 若 u=A， v=B，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 56 则 u v=A B； 法则三 若 u=A， v=B，且 B 0，则 论 若 u=A， C 为常数， k N，则 u=C u=C A； u= k=A 注 运用这一法则的前提条件是 u 与 v 的极限存在。 k k &两个重要极限 一、 x =1 x?0x ?x 二、 ?1?=e x?x? &函数 的连续性 一、函数连续性的概念 若函数 f 在点 其左右有定义，且处连续， 函数 f 的连续点。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 56 理解这个定义要把握三个要点： f 要在点 其左右有定义； f=f，则称函数 f 在点 x0 x?x0 f 要存在 x?x0 f= f。 x?量 x= y= f- f 设函数 f 在点 其左右有定义，如果当自变量 x 在点 x 趋近于零时，相应的函数增量 y 也趋近于零，即 称函数 f 在点 x0?y?0， ?x?0 为 f 的连续点。 续函数 如果函数 f 在区间上每一点上连续，则称函数 f 在区间精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 56 上连续。 如果函数 f 在某个区间上连续，就称 f 是这个区间上的连续函数。 二、连续函数的运算与初等函数的连续性 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商在这一点也连续。 设函数 u?在点 连续，且 ?函数 y=f点 么复合函数 y? 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章 微分与导数 &导数的概念 设函数 y= x 0 时，若 ?y 得极限 ?x 存在，则称 y=f 在点 可导，并称此极限值为函数y=f 点 作 x?f?y ， ?f ? ?x?0?x?x?0?x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 56 可记作 y x? x?x0 x? ? 和 f? 都存在且等于 A，即 函数 f=f? ?f?A。 f?A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等， 该点的导数就不存在。 &导数的四则运算法则和基本公式 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 数列 : *an?f; *?f 初等函数 : 分段函数 : *F? ?x0?fx?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 56 ; *F?;* , ?ax?x0?合函数 : y?f,u? 隐式 : F?0 参式 : ? ?x?x ?y?y 变限积分函数 : F? ? x a 数和函数 : S? 2. 特征 : ?ax,x? ? 单调性与有界性 ; 单调 ?f)定号 ) 奇偶性与周期性 . 3. 反函数与直接函数 : y?f?x?f 二 . 极限性质 : 1. 类型 : *n? x? ?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 56 ?y?f?1 x?. 无穷小与无穷大 : 3. 未定型 : 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an n?1, a?1, ?a?0?0 n! n n 1x?1, ?0, ?, x?x?x?0x e?x?0? n ?0x? , ?x? 四 . 必备公式 : 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 56 1. 等价无穷小 : 当 u?0时 , u; 1?2 u; 2 ?u; u; )?1?u; ?u . 泰勒公式 : 12 x?o; 2!122 ln?x?x?o; 2134 x?x?o; 3! 12145 ?x?x?o; 2!4! ?2? x?o. ?1?x? 2! e?1?x? x 五 . 常规方法 : 前提 : 准确判断 , 1. 抓大弃小 ; 变量精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 56 代换 0?x ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 x 3. 1处理 4. 左右极限 : 1 1x ; e; 分段函数 : x, x, x 00 5. 无穷小等价替换 6. 洛必达法则 先”处理” ,后法则 ; x?1x?001?x1?x v 幂指型处理 : u?e 含变限积分 ; 不能用与不便用 7. 泰勒公式 : 处理和式中的无穷小 8. 极限函 数 : f?n? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 56 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : an?f?x? 双边夹 : *bn?an? *bn,cn?a? 单边挤 : ?f *a2?*? *f?0? ?f ? ?x?0?x 1112n ?)f?fn?. 导数定义 : . 中值定理 : f?f?x? x? 5. 级数和 : ? 2?, n?n? n?1n?1 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 56 ?同敛散 七 . 常见应用 : 1. 无穷小比较 : *f? f?f?f ?0,f?a?f? x?xn n!n! ? x x 2. 渐近线 : f ,b?f?f?ax?b? x?x?x 1 f?ax?b?, x a?. 连续性 : 间断点判别 ; 分段函数连续性连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 56 1. 连通性 : f?m,M ?f?f) 2. 介值定理 : 零点存在定理 : ?f?0; f?0?0. 第二讲 :导数及应用 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f?x?0 f?ff?f ; f?x?x0?xx?x0 f?x?0 f?A?f?0,f?A) 左右导 : f?,f?; 可导与连续 ; 2. 微分与导数 : ?f?f?f?f?x?o?df?f微 ?可导 ; 比较 ?f,0的大小比较 ; 二 . 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; ) 2. 法则 : 四则运算 ; 复合法则 ; 反函数三 . 各类求导 : f?f 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 56 h 1. 定义导 : f与 fx?a; 分段函数左右导 ; h?0 ?Fx?, 求 :f,f及 f的连续性 ) , x? 2. 初等导 : u?fg, 求 :u; F? y? ? x a 求 :F ,) a a a ,求 f?,f?及 f ?x0 3. 隐式 ?0)导 : 在定理 ; 微分法 . 对数求导法 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 56 ?x?2 4. 参式导 : ?, 求 : y?y 5. 高阶导 f 公式 : ; )? ?2 ? 注 : f f 与泰勒展式 : f?a0?n! n 四 . 各类应用 : 1. 斜率与切线 ; 上点 过点 切线 ) 2. 物理 : 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 56 变化率 ?速度 ; 3. 曲率 : ? 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 : 五 . 单调性与极值 1. 判别 ?0): f?0?f?; f?0?f?; 分段函数的单调性 f?0?零点唯一 ; f?0?驻点唯一 . 2. 极值点 : 表格变号 ); ff ?0,?x?0 的特点 ) x?阶导 ?0) 注 f 与 f,f的匹配 ; 实例 : 由 f?f?g 确定点“ x?特点 . 闭域上最值 3. 不等式证明 ?0) 区别 : *单变量与双变量 ? *x?a,b与 x?a,?),x? 类型 : *f?0,f?0; *f?0,f?0 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 平方关系： 1 1=1=积的关 系： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 56 倒数关系： 1 1 1 直角三角形 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 , 两角和与差的三 角函数： 三角和的三角函数： 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 56 21=11 三倍角公式 43半角公式： /2) /2) /)=/降幂公式 )/2= )/2= )/) 万能公式： 21+ 11+ 21 积化和差公式： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 56 吉林大学 高数 复习 公式 -和差化积公式： 222 222 222 22 推导公 式 2/1+2 12 1+ 三角函数的角度换算 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二： 设为任意角， +的三角函数值与的三角函数值精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 56 之间的关系： 公式三： 任意角与 吉林大学 高数 复习 公式 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 公式五： 利用公式一 和公式三可以得到 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 56 公式六： /2及 3 /2与的三角函数值之间的关系： 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 56 ?1?1?1 1?1 ?1 1?数公式： ? ?dx? ?dx?a2?a?C ?dx?ax x2?2a x?a?C? ?a2?x2?x?C?a2?x2?dx?x? ? 22 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 56 In n?n?1 00 ?x2?x2?a2?a 2 ?x2?a2?a2 ?C ?a2?x 2a2?x2?a?C 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，常数函数 2、分段函数不是初等函数。 x2? 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： x?0x?0xx 、两个重要极限： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 56 x?0x ?x?e x?0 1 x ?1? ?e x? ?x? g x 经验公式：当 x?x0,f?0,g?， ?f? x?e x?x0 如： ?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x? x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 56 ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： x?0 f?f ?f ?x x?x0 f?f ?f?x?、复合函数求导： df?g?f?g?g 如： y?x?x,y? 2x?2x?1 2x? 1 8、隐函数求导：直接求导法；方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2? 例如：解：法 ,左右两边同时求导 ,2x?20?y? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 56 x ,左右两边同时微分 ,2? 、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?，则，其二阶导数： x?h dd?g/h? dy/? 22 10、微分的近似计算： f?f?x?f 例如：计算 11、函数间断点的类型：第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? y?二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f?， y?断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y?c x? ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f?0， f不存在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 56 20、可导函数 f 的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： 罗尔定理： f 在 a,b上连续，内可导，则至少存在一点 ?，使得 f?0 拉格朗日中值定理： f 在 a,b上连续，内可导，则至少存在一点 ?，使得 f?f?f 积分中值定理： f 在区间 a,b上可积，至少存在一点 ?，使得 b ?f a 22、常用的等价无穷小代换： x212x3,x?x3,x63 23、对数求导法：例如， y?： 1 y?y?xx? y 24、洛必达法则：适用于“ 0?”型，“”型，“ 0?”型等。当 0? x?x0,f?0/?,g?0/?， f,g皆 存在，且 g?0，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 56 ffex?0ex? 如 ， 2x?x?0x?0x?05、无穷大：高阶 +低阶 =高阶 例如， 26、不定积分的求法 公式法 第一类换元法 第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 ?x?1?2x?3?x? 2x5 x? x?2 a2?令 x?x2?令 x?x2?令 x?)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换 x? 1 t 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 56 27、分部积分法： uv?取 u 的规则“反对幂指三”，剩下的作 v。分部积 出现循环形式的情况，例如： ? ? 28、有理函数的积分： 例如： 3x?22?2x3?x3?x2?x?131x?1?需要进行拆分，令 ?x2 中，前部分 ? 111? 2 29、定积分的定义： ?f?x ?a ?0 i i i?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 56 b n 30、定积分的性质： b 当 a= ?； ab a 当 a ?a b a? f 是奇函数， ?,a?0 a 当 f 是偶函数， b ?a ?加性： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 56 ?a a c x x d 31、变上限积分： ?f ?d 推广： dx u ?f?u?u a b 32、定积分的计算： b b ?F a 33、定积分的分部积分法： 如： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 56 a b a ? a ? ?b b? 34、反常积分：无穷限的反常积分： ?a a b bt?a? 无界函数的反常积分： 35、平面图形的面积： A? ?a t d ?f?f? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 56 1 2 1 a c 2 绕 y 轴旋转， ? 2 a c b d b 36、旋转体的体积： 绕 x 轴旋转， V? 高等数学知识点总结 导数公式： 2 ? 1?x 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 39 / 56 1? 1?x 2 x)? 1? 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?a?x?a? ? ? ? ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 40 / 56 2 2 ? ?x x? x ? 2 ? 1a1 C?C?C ?a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 41 / 56 a x?ax?aa?xa?C 22 2? 2 ? ? 2 2 22 a?x 2 ? a 2 2 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 42 / 56 2 ?2 n n 2 n?1 x?a)?Cx? 2 2 2 2 ? 2u1?u x?x?a?2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 43 / 56 2 2 2 2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln x e?ee?e x?x x? ?e ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 44 / 56 x?1） x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差角公式： 和差化积公式： ?122?2 ?2 ?2 ?2 22?2 ?2 ?2 ?2 倍角公式： 221?1?2 12?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 45 / 56 222 2 2 2 3443 3?32 3 3 3 半角公式： 2 ? ?21? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 46 / 56 2 ? 1?2 ? 2 1?2 ? 2 ?c ? 2 ? 1?2 ? ?正弦定理： ? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 47 / 56 ?2R 余弦定理： c?a?b?2反三角函数性质： ? 2 ? ? 2 ?阶导数公式 莱布尼 兹公式： n ?u ? ?C k?0 kn u v 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 48 / 56 v?nu v? u v? n? k! u v ?值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f?f?f? ?f?F? 拉格朗日中值定理。 f? 当 F?西中值定理就是 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 49 / 56 曲率： 弧微分公式：平均曲率： K? ?s ?y?中 y?:从 M 点到 M?点，切线斜率的倾