高一函数知识点总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 50 高一函数知识点总结 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f 和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f， x A其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f| x A 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零； 对数式的真数必须大于零； 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 的定义域是使各部分都有意义的 指数为零底不可以等于零， 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ；定义域一致 2值域 : 先考虑其定义域 观察法 配方法 代换法 3. 函数图象知识归纳 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f , 中的 x 为精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 50 横坐标，函数值 y 为纵坐标 的点 P 的集合 C，叫做函数 y=f,的图象 C 上每一点的坐标均满足函数关系 y=f，反过来，以满足 y=f 的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点，均在 . 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对 应，那么就称对应 f：A? 到集合 B 的一个映射。记作“ f： A?B” 对于映射 f： A B 来说，则应满足： 集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； 不要求集合 中都有原象。 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 各部分的自变量的取值情况 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 50 域的并集 补充：复合函数 如果 y=f,u=g,则 y=fg=F 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 增函数 设函数 y=f 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 如果函数y=f 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f 在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 定义法： 1 任取 x， x D，且 x 2 作差 f f； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 1 2 1 2 1 2 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 50 2 图象法 复合函数的单调性 复合函数 fg的单调性与构成它的函数 u=g， y=f 的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数 x，都有 f=f，那 么 f 就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f 的定义域内的任意一个 x，都有 f= f，那么 f 就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f 与 f 的关系； 3 作出相应结论：若 f = f 或 f f = 0，则 f 是偶函数；若 f = f 或 f f = 0，则 f 是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 根据定义判定 ; 由 f精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 50 f=0或 f f= 1来判定 ; 利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f在 x=f； 如果函数 y=a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f在 x=f； 例题： y? y?f 的定义域为 0， 1，则函数 f 的定义域为_ _ f 的定义域为 ?2， 3，则函数 f 的定义域是 ?x?2 ?，若 f?3，则 x= f?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 50 ?2x? y?x?3 y?x?3 x?1,2 y?x f?x，求函数 f， f 的解析式 f 满足 2f?f?3x?4，则 f= 。 8.设 f 是 R 上的奇函数，且当 x?0,?)时 ,f?x 时 f 在 R 上的解析式为 y?x?3 y?x?1 y? 的单调性并证明你的结论 f? 1?1 f?f 2 1?三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 x?a，那么 x 叫做 a 的 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 50 次方根，其中 n1，且 n N * n ? 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n 是偶数时， a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a ?a a?a， a mn m* ? 1a 1 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 50 ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a a?a r r r?s ； a r r s ； ?数函数及其 性质 x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f?域是 f,f或 f,f； 若 x?0，则f?1； f 取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f?有 f?a； 二、对数函数 对数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 50 x 1对数的概念：一般地，如果 a?N，那么数 x 叫做以 N 的对数，记作： x?明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N? 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 M ? N 3 2 注意：换底公式 函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 50 定义域 定义 对应法则值域 区间 一元二次函数一元二次不等式 指数函数 根式分数指数 映射 函数 性质 指数函数的图像和性质 指数方程对数方程 奇偶性 对数的性质 单调性 积、商、幂与 周期性 对数 反函数 互为反函数的函数图像关系 对数恒等式 对数函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 50 对数函数的图像和性质 根的对数 和不等式 常用对数自然对数 函数概念 知识梳理 1映射的概念 设 A、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为f:A?B ， f 表示对应法则 注意： A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2函数的概念 函数的定义： 设 A、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为 y?f,x?A 函数的定义域、值域 在函数 y?f,x?A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做 y? x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合 ?称为函数 y? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 50 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3函数的三种表示法：图象法、列表法、解 析法 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 考点分析 考点 1：映射的概念 例 1 A?R， B?y|y?0， f:x?y?|x|； A?x|x?2,x?N*， B?y|y?0,y?N?， f:x?y?x?2； A?x|x?0， B?y|y? R， f:x?y? 上述三个对应 是 A 到 B 的映射 例 2若 A?1,2,3,4， B?a,b,c， a,b,c?R，则 A 到 个， B 到 A 的映射有 个， A 到 B 的函数有 个 例 3设集合 M?1,0,1， N?2,?1,0,1,2，如果从 的映射 f 满足条件：对 M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f 的和都为奇数，则映射 f 的个数是 8 个 12个 16 个 18个 考点 2：判断两函数是否为同一个函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 50 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ f? x x， g? 23 x； x?0,x?0; 3 ?1 f?， g? x?1 f?f? 2n?1 x 2n?1 2n?1 ， g?； x 2 x?1， g? 2 x?x； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 50 2 f?x?2x?1， g?t?2t?1 考点 3：求函数解析式 方法总结：若已知函数的类型，则用待定系数法； 若已知复合函数 fg的解析式，则可用换 元法或配凑法； 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f 题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1已知二次函数 f 满足 f?4x?5，求 f 例 2已知 f 满足 f?2f?3x，求 f ?x1?x )=1?x1?x 22 ，则 f 的解析式可取为 考点 4：求函数的定义域 题型 1：求有解析式的函数的定义域 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 50 题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例 f? 12 A.?2,?);B.?； C. ,?4,0)? 题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域 例 1设 f?x?x2?x x?2?，则 f?f?的定义域为 ?2? ?x? A. ?4,0?0,4? ； B. ?4,?1?1,4? ；C. ?2,?1?1,2?； D. ?4,?2?2,4? 例 2已知函数 y?f 的定义域为 a， b，求 y?f 的定义域 例 3已知 y?a， b，求函数 y?例 4已知 y? y?考点 5：求函数的值域 1 求值域的几种常用方法 配方法：对于“二次函数型”的函数常用配方 法， 如求函数 y? x?2，可变为 y? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 50 x?2?2 解决 2 基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数 y?2 就是利用函数 y? 12 2 u 和 u?x?2x?3 的值域来求。 判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数 y? 2x?1x?2x?2 2 的值域 3? 2 3?, 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 50 分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y?利用基本不等式求值域： 如求函数 y? 3 2 的值域，因为 的值域 利用函数的单调性求求值域： 如求函数 y?2x4? 的值域 图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数f?20x， x?3,3的 最小值。 对勾函数法 像 y=x+三种模型：如 y?x? 的函数， m ，求单调区间 x 的范围 3,5，求值域x ? )?的定义域为 A，区间 I?A，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1?，都有 f?f，那么就说 y? 上是单调增函数， I 称为 y?f 的单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两个值 x1?有 f?f，那么就说 y?f 在区间 I 上是单调减函数， I 称为 y?f 的单调减区间。 如果用导数的语言来，那就是：设函数 y?f，如果在某精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 50 区间 I 上 f?0，那么 f 为区间 I 上的增函数；如果在某区间I 上 f?0，那么 f 为区间 I 上的减函数； 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法： 定义法；导数法在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 y?和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为 函数的图 复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 0),. 若 f 与 g 在定义域内都是增函数，那么 f?g 在其公共定义域内是增函数。 3、单调性的说明： 函数的 单调性只能在函数的定义域内来讨论 ,所以求函数的单调区间 ,必须先求函数的定义域； 函数单调性定义中的 是任意性；二是大小，即 x1?是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 y? 1x 分别在和内 1x 都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 ?内是精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 50 单调递减的，只能说函数 y?减区间为和。 4、函数的最大值 的单调递 设函数 y?，如果存在定值 ， 使得对于任意 x?A，有 f?f 恒成立，那么称 f 为 y?果存在定值 ，使得对于任意x?A，有 f?么称 f 为 y? 考点分析 考点 1 函数的单调性 题型 1：讨论函数的单调性 2 例 1求函数 y?的单调区间； 已知 f?8?2x?x,若 g?f 试确定 g 的单调区间和单调性 例 2. 判断函数 f= x?1 2 22 在定义域上的单调性 .? 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 1已知函数 f 的定 义域是 x?0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,f?f?f，且当 x?1时 f?0,f?1， 求证： f 是偶函数； f 在上是增函数；解不等式 f?2 题型 3：函数的单调性的应用 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 50 2 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 A?x|y? B?y|y? C?|y? A、B、 C 中元素各表示什么？ A 表示函数 y=定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点 的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A? ?x|x 2 ?2x?3?0， B?x|? ? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 3? 显然，这里很容易解出 A= 最多只有一个元素。故 B 只能是 者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况 ，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 50 3. 注意下列性质： n 集合 ?， 所有子集的个数是 2； 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 说，有 2 种选择。同样，对于元素 ?有 2 种选择，所以，总共有 2 种选择， 即集合 A 有 2 个子集。 当然，我们也要注意到，这 2 种情况之中，包含了这 真子集个数为 2?1，非空真子集个数为 2?2 n n n A?B?A?B?A， A?B?B； 德摩根定律： ?B? ?B?有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？ 如：已知关于 x 的不等式的取值范围。 ?3? ?0 5?M， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 50 a 5?55 2 ?a 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f=bx+c 在上 单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函 数对称轴是 x=说在上 ，也应该马上可以想到 m， n 实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” . 若 p?且仅当 p、 q 均为真 若 p?且仅当 p、 q 至少有一个为真 若 ?且仅当 p 为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质 A?x|x 满足条件 p， B?x|q， 若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 ? 若 ；则 p是 q 的必要非充分条件 ? 若 ；则 p 是 q 的充要条件 ? 若 ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ?_应能构成映射？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 50 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 。 如：若A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A 到 B 的映射有 个， B 到 个； A 到 _； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 中与之对应元素的唯一性，哪几种对 B 的函数有个，若 A?1,2,3，则 A 到 B 的一一映射有个。 函数 y?的图象与直线 x?个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 y? 函数定义域求法： ? ? ? x?4?x?lg?x?3? 2 的定义域是 ? 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 50 ? 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? 正切函数 y?x?R,且 x?k? 对 ? ? ? ,k? 2? ? ? 余切函数 y?x?R,且 x?k?,k?反三角函数的定义域 ? 函数 y 定义域是 1, 1 ， 值域是，函数 y 定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 y 定义域是 R ，值域是 .，函数 y R ，值域是 . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f 的定义域是 a， b， b?a?0，则函数 F?f?2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 50 定 义域是 _。 复合函数定义域的求法：已知 y?f 的定义域为 ?m,n?，求 y?f?g?的定义域，可由 m?g?x 的范围，即为 y?f?g?的定义域。 ? ? 例 若函数 y?1? ，则 f 的定义域为。 分析：由函数 y?1?1? ?x?2；所以 y?22?2?2? 12 ?。 解：依题意知： 12 ? 解之，得 f 的定义域为 x| ? 2?x?4 ? 11、函数值域的求法 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 50 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 1x 的值域 例、求函数 y=， x?2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y?b. y? bk+ 2 2 型：直接用不等式性 质 ,先化简，再用均值不等式 1x+ 1x ? 12 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 50 ?mx?n x1+x 2 例： y? c. y?d. y? 2 ?m?x?n?mx?nx?n?mx?n x 2 型 通常用判别式 型 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 例： y? x 2 ?x?1x?1?+1 1 ?1?2?1?1 x?1x?1 2 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 50 域来确定原函数的值域。 例 求函数 y= 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 3x?45x?6 值域。 例 求函数 y= e?1e?1 ?e x x ， y? 211?01?y2?y ， y? 211?的值域。 y?y?y? ee 1?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 50 x ? 1?y1?y 211?11?|?|?1, ?21?y 21?y?1?y,即 又由 知 ?1 解不等式，求出 y，就是要求的答案 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较 多的一个内容 例求函数 y= 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 2 x?5 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 50 x?1的值域 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点 P 在圆 x2+上， x?1的值域。 的取值范围 解 :令 d?R 令 b,即 y?2x?b?0,也是直线 d d?R 例求函数 y= ?k,则 y?k,是一条过的直线 . 2 + 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 50 2 的值域。 解：原函数可化简得： y= + x+8 上式可以看成数轴上点 ， 由上图可知：当点 P 在线段 y= + x+8 =10 当点 y= + x+8 =10 故所求函数的值域为： 10， +） 例求函数 y= x 2 ?6x?13+ x 2 ?4x?5 的值域 解：原函数可变形为： y= 2 ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 50 + 2 ? 2 上式可看成 到两定点 A， 离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， =故所求函数的值域为 2 ? 2 =43， 43， +）。 注：求两距离之和时，要将函数 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 A?x|y? B?y|y? C?|y? A、B、 C 中元素各表示什么？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 50 A 表示函数 y=定义域， B 表示的 是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A?x|x?3?0?， B?x|? 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 ? 显然，这里很容易解出 A= 最多只有一个元素。故 B 只能是 者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： 集合 ?， ?， 所有子集的个数是 2； 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 说，有 2 种选择。同样，对于元素 ?n,都有 2 种选择，所以，总共有 2 种选择， 即集合 个子集。 当然，我们也要注意到，这 2含了这 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 50 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2n?1，非空真子集个数为 2n?2 若 A?B?A?B?A， A?B?B； 德摩根定律： ?B? ?B?有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？ 如：已知关于 x 的不等式 x2?a?0 的解集为 M，若 3?M，求实数 a 的取值范围。 5?M， a 5?5 52?a?0 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数 f=bx+c 在上单调递减， 在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是 x=说在上 ，也应该马上可以想到 m， n 实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” . 若 p?且仅当 p、 q 均为真 若 p?且仅当 p、 q 至少有一个为真 若 ?且仅当 p 为假 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 50 命题的四种形式及其相互关系是什么？ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质 A?x|p， B?x|q， 若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 ? 若 ；则 p 是 q 的必要非充分条件 ? 若 ；则 p 是 q 的充要条件 ? 若 ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ?_； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个 数有 。 如：若A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A 到 B 的映射有 个， B 到 个； A 到 B 的函数有个，若 A?1,2,3，则 A 到 函数 y?的图象与直线 x? 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 50 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x?4?x? 函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； ? 偶次方根下的数 大于或等于零； ? 指数式的底数大于零且不等于一； ? 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? 正切函数 y?x?R,且 x?k? 2,k? ? ? ? 余切函数 y?x?R,且 x?k?,k? ? 反三角函数的定义域 函数 y 定义域是 1, 1 ， 值域是，函数 y 定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 y R ，值域是 .，函数 y R ，值域是 . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 50 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f 的定义域是 ?a， b?， b?a?0，则函数 F?f?义域是 _。 复合函数定义域的求法：已知 y?f 的定义域为 ?m,n?，求 y?f?g?的定义域，可由 m?g?x 的范围，即为 y?f?g?的定义域。 例 若函数 y?1? ?2，则 2, ?2 分析：由函数 y?1?1 ?,2可知： ?x?2；所以 y?1 2?。 解：依题意知： 1 2? 解之，得 2?x?4 f 的定义域为 ?x|2?x?4? 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=1的值域 x 2、配方 法 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 50 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y=， x?2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y?b k+接用不等式性质 b. y?bx x2?mx?n 型 ,先化简，再用均值不等式 例： y?+1 x+12 x c. y?x2?m?x?n? x2?mx?n 型 通常用判别式 2 d. y?x?mx?n x?法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 39 / 50 例： y?x2?x?1?+1 x?1x?1?1 x?1?1?2?1?1 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=3x?4 5x?6值域。 5、函数有界性法 直接求 函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 x 例 求函数 y=e?121 ?1y?21 1? y?1?值域。 y? ?y 1?y?0 y?21?|?|1?y 1?y|?1, 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4