排列组合综合应用1(排数排队).doc

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用1导学案 编号：57编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组学习目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 ；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。.学习重点：排列组合在排队排数问题中的应用学习难点：排列组合在排队排数问题中的应用学习过程：1、 预习导航，要点指津（约3分钟）引例：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。 解1：分三步完成，1.选3名男同学有种，2.选2名女同学有种，3.对选出的5人分配5种不同的工作有种，根据乘法原理共有(种). 解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有种,第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有种.根据乘法原理共有(种).亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有(种) 那么下列的解法错在哪里?从6名男的选出3名排列有种,又从4名女的选出2名排列,有种,所以有=1440(种).显然少了,错在哪?错在中排在哪3个位置,不明确.同理中排在哪2位亦不明确,所以产生了遗漏现象.点评:对排列组合的混合问题，解题的关键是要合理分步：在分步时一般先组合后排列，这样才能做到不重不漏。排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。二、自主探索，独立思考（约10分钟）例1、（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.说明：此题也可用定序问题缩位法求解，先考虑所有6位数：个，因个位数字须小于个位数字，故所求6位数有(个) （2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种. 例2、某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭配方法。分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有种；然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女-男女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab显然： 与； 与在搭配上是一样的。所以只有2种方法，所以总的搭配方法有种。例3、例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,为节约用电,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有 10种。故满足条件的关灯的方法共有10种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决例4、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。解：由题意，先借7人一排坐好，再安排3在8个空中找3个空插入，最后撤出借来的7人。得不同的坐法共有种。留空排列借元法例5、高二某班要从7名运动员出4名组成4100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？分析：从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四棒这个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考虑4人的选取有几类？再考虑谁跑哪棒。直接法：分三类。第一类，没有甲、乙，有种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 种；第三类，既有甲又有乙。有种。第一类无甲乙情况：可把4人全排列，有 种；第二类甲乙只有一人情况：甲或乙 先考虑有种余下的三人全排列有种；第三类甲乙都有的情况：先考虑甲乙有种，余下的有种。 所以，第一类有种,第二类有种,第三类有种。由加法原理；总的安排方法有 N= + + （种）例6：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。 解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，3个奇数；3个偶数，2个奇数；4个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为 解法2：从反面考虑，全部子集个数为,而不符合条件的有两类： 5 个都是奇数；4个奇数，1个偶数。所以共有子集个数为.三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、展示你的收获（约8分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）五、重、难、疑点评析（约5分钟）由教师归纳总结点评达标检测（约8分钟）1：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A24个 B30个 C40个 D60个 解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：当0排在末尾时，有个；当0不排在末尾时，三位偶数有个，据加法原理，其中偶数共有+30个，选B 2.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？1203.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ 42 ） 5.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.7.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.8.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.9：有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法? 分析：若将字母作为元素，19号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将19号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题 即共有1260(种)不同的排法 10：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种 解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有种；取1个偶数和2个奇数的取法有种另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同取法 因此，符合题设条件的不同取法有+-951种 7、 课后练习1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ B ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有( ) A36种 B18种 C12种 D6种 简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有种选法)与两名女歌唱家组成一个团体，将这个小团体视为一个元素，与其余2名男歌唱家排列有种排法。最后小团体内2名女歌唱家排列有种排法，所以共有36种出场方案，选A。 4.从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子,每个盒子放一球,则1号球不放一号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为 ( )A.10 B.12 C.14 D.16答案：C。解析：分两类：3号球放1号盒子时，有种不同放法；3号球不放1号盒子 时，有种不同放法。放法总数为。5.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_ 20 。6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_30 。7.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_192_ 种8.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_（用数字作答）。解析：分两类：甲乙恰有1人入选，选法种数为；甲乙2人都入选， 选法种数为。因此选法总数为种。9.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 _(用数字作答) 分析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是10(种) 说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即10 10.一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法? 解：将问题转化成把3个人坐5张椅子，然后插一把空椅子问题3个人若坐5张椅子，每2人之间一张空椅子坐法是固定的有种不同的坐法，然后，将余下的那张椅子插入3个坐位的4个空隙，有4种插法所以共有24种不同的坐法11. 30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13.这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个. 2011-5-14 12.一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有多少种？8解析：依题意得，就这3次中取得小球标号中含3的小球的实际次数进行分类计数：第一类，当这3次中取得小球标号中含3的小球仅有1次时，满足题意的取法有C2212种；第二类，当这3次中取得小球标号中含3的小球恰有2次时，满足题意的取法有C26种；第三类，当这3次中取得小球标号中含3的小球有3次