2019版高考数学第5章平面向量3第3讲平面向量的数量积及应用举例教案理.docx

第3讲平面向量的数量积及应用举例1平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos_叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是 0180若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直3.向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，abx1x2y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0)，又因为，于是()22a2a1，由已知可得a2a11.又a0，所以a，即AB的长为.【答案】角度三两向量垂直问题 已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【解析】因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32()940.解得.【答案】(1)求平面向量的夹角的方法定义法：利用向量数量积的定义知，cos ，其中两个向量的夹角的范围为0，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos ；(2)求向量的模的方法公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解 通关练习1(2018河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a(2ab)b(b2a)，|ab|3|a|，则a与b的夹角为_解析：由2a(2ab)b(b2a)得4a2b2，由|ab|3|a|得a22ab2b29a2，则ab0，即ab，所以a与b的夹角为90.答案：902(2017高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_解析：因为，故，解得.答案：3(2018东北四市高考模拟)已知向量(3，1)，(1，3)，mn(m0，n0)，若mn1，则|的最小值为_解析：由(3，1)，(1，3)得mn(3mn，m3n)，因为mn1(m0，n0)，所以n1m且0m1，所以(12m，4m3)，则|(0m1)，所以当m时，|min.答案：向量数量积的综合应用 典例引领 (2017高考江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值【解】(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 通关练习1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m，n，且2mn|m|，则A_解析：因为2mn2sin cos 2cos2 sin A(cos A1)sin 1，又|m|1，所以2mn|m|sin，即sin.因为0A，所以A0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之也不成立 易错防范(1)ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.(2)abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立 1(2018洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，且(ab)(2ab)，则实数的值为()A7B3C2D3解析：选D.依题意得ab21cos 1，(ab)(2ab)0，即2a2b2(21)ab0，390，3.2(2018山西四校联考)向量a，b满足|ab|2|a|，且(ab)a0，则a，b的夹角的余弦值为()A0 B.C. D.解析：选B.(ab)a0a2ba，|ab|2|a|a2b22ab12a2b29a2，所以cosa，b.故选B.3(2018洛阳市第一次统一考试)已知向量a(1，0)，|b|，a与b的夹角为45，若cab，dab，则c在d方向上的投影为()A. BC1D1解析：选D.依题意得|a|1，ab1cos 451，|d|1，cda2b21，因此c在d方向上的投影等于1，选D.4在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选C.由()|2，得()0，即()0，所以20，所以.所以A90，又因为根据条件不能得到|.故选C.5(2018福建漳州八校联考)在ABC中，|，|3，则的值为()A3 B3C D.解析：选D.由|两边平方可得，2223(222)，即224，又|3，所以，又因为，所以()()29，故选D.6(2017高考全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2 b| _ .解析：易知|a2b|2.答案：27(2018江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为_解析：因为b在a上的投影为3，所以|b|cosa，b3，又|a|2，所以ab|a|b|cosa，b6，又ab13m，所以3m6，解得m3，则b(3，3)，所以|b|6，所以cosa，b，因为0a，b，所以a与b的夹角为.答案：8(2017高考天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为_解析：().又323，所以()2233454，则.答案：9已知向量a(2，1)，b(1，x)(1)若a(ab)，求|b|的值；(2)若a2b(4，7)，求向量a与b夹角的大小解：(1)由题意得ab(3，1x)由a(ab)，可得61x0，解得x7，即b(1，7)，所以|b|5.(2)a2b(4，2x1)(4，7)，故x3，所以b(1，3)，所以cosa，b，因为a，b0，所以a与b夹角是.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解：(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6.所以cos .又因为0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sin ABC433.1已知点G为ABC的重心，A120，2，则|的最小值是()A. B.C. D.解析：选C.设BC的中点为M，则.又M为BC中点，所以()，所以()，所以| .又因为2，A120，所以|4.所以| ，当且仅当|时取“”，所以|的最小值为，故选C.2(2018广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为xy20(0x2)设M(a，2a)，N(a1，1a)(由题意可知0a1)，所以(a，2a)，(a1，1a)，所以a(a1)(2a)(1a)2a22a222，因为0a1，所以由二次函数的知识可得.3设非零向量a与b的夹角是，且|a|ab|，则的最小值是_解析：因为非零向量a与b的夹角是，且|a|ab|，所以|a|2|ab|2|a|2|b2|2|a|b|cos ，所以|b|2|a|b|0，所以|b|a|，所以t22t(t1)2，所以当t1时，取最小值.答案：4(2018昆明质检)定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量)对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若e是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号)解析：当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故是正确的；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故是错误的；当ab与c共线时，则存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故是错误的；当e与a不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是.答案：5(2018安康模拟)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(6，9)(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；(2)若点E在x轴上，使BCE为钝角三角形，且BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围解：(1)设D(x，y)，则(x，y2)，(x4，y1)，由题意知ADBC，则0，即10x8(y2)0，即5x4y80，由，得8(x4)10(y1)，即4x5y210，联立解得x，y，则.(2)设E(a，0)，则(4a，1)，(6a，9)，由BEC为钝角，得(4a)(6a)90，解得5a3，由与不能共线，得9(4a)6a，解得a.故点E的横坐标的取值范围为(5，3)6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，|1，且AOC，其中