全国高考数学复习第二篇函数导数及其应用第9节函数模型及其应用习题理.docx

第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号一次、二次函数模型1,3,4,6,7,8,14指、对数函数模型2,9基本不等式模型及函数模型综合应用5,10,11,12,13,15基础对点练(时间:30分钟) 1.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是(A)x45678910y15171921232527(A)一次函数(B)二次函数(C)指数函数(D)对数函数解析:由表可知,自变量x每增加1个单位,y的值增加2个单位,因此是一次函数模型.故选A.2.导学号 18702093一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的64125时,需要经过(C)(A)5年(B)4年(C)3年(D)2年解析:由指数函数模型知()x=64125,解得x=3.3.A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处的D地建一座核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数为0.25,且A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月,要使供电费用最小,则x等于(B)(A)50 km(B) km(C)25 km(D)15 km解析:由题意知供电费用y=5x2+(100-x)2(10x90).则y=x2-500x+25 000=(x-)2+故x=时,y有最小值.故选B.4.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是(C)解析:设CD=x,则S=x(16-x)(4x16-a),u=Smax=f(a)=5.某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示.操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成(B)(A)50 米(B)100 米(C)125 米(D)150 米解析:设矩形的长为x米,半圆的直径为d米,中间矩形的面积为S平方米,依题意可得,2x+d=400,d=(0x200).S=dx=x=(400-2x)2x2=,当且仅当400-2x=2x,即x=100时,学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成100米.选B.6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(B)(A)3.50分钟(B)3.75分钟(C)4.00分钟(D)4.25分钟解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大.7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为(C)(A)上午10:00(B)中午12:00(C)下午4:00 (D)下午6:00解析:当x0,4时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x,当x4,20时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x)=由y240,得或所以3x8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.8.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益每件单价应降低元.解析:设降低x元,总利润为y元,由题意得y=(1 000+100)(4-x)(0x1010,得()x108,两边取以10为底的对数,得xlg 8,所以x.因为45.45,所以x45.45,故经过46小时,细胞总数可以超过1010个.答案:4610.为了优化城市环境,方便民众出行,某市在某路段开设了一条仅供车身长为10 m的BRT行驶的专用车道.据数据分析发现,该车道上行驶中前、后两辆BRT公交车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v).现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出行堵车状况时,两车安全距离为2 m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时间内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?解:(1)设d=f(v)=av2+bv+c(a0),将点(0,2),(15,8),(45,38)分别代入得a=,b=,c=2.所以d=f(v)=v2+v+2.(2)设单位时间内通过的汽车数量为Q,则Q=1 000(辆),当且仅当=,即v=30时等号成立.答:当v为30 km/h时通过的汽车数量最多,最多为1 000辆.能力提升练(时间:15分钟) 11.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C)(A)2x+1(B)2(x+1)(C)2x (D)2x解析:如x=1时,应付费2元,此时2x+1=4,2(x+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时2x=1排除D,故选C.12.(2016北京东城区二模)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品,根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为(C)(A)179元(B)199元(C)219元(D)239元解析:由题意,优惠券1比优惠券2减免的多,所以他购买的商品的标价超过200元.他购买的商品的标价为219元,优惠券1减免21.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免21.42元;标价为239元,优惠券1减免23.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免25.02元.故选C.13.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,以及汽车惯性有一个刹车距离,设停车安全距离为s,驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1,刹车距离为s2,则s=s1+s2,而s1与反应时间t有关,s1=10ln(t+1),s2与车速v有关,s2=bv2.某人刹车反应时间为(-1)秒.当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100 km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为 米.(精确到米)解析:因为刹车反应时间为(-1)秒,所以s1=10ln(-1+1)=10ln=5,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则s2=b602=20,解得b=,即s2=v2.若v=100,则s2=100256,s1=5,则该汽车的安全距离s=s1+s25+56=61(米).答案:6114.某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x(百台),其总成本为g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入r(x)满足r(x)=假设该产品产销平衡,根据上述统计数据规律求:(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?解:依题意得g(x)=x+3,设利润函数为f(x),则f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=(1)要使工厂有盈利,则有f(x)0,因为f(x)0或或或7x10.5.3x7或7x10.5,即3x10.5.所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内.(2)当37时,f(x)10.5-7=3.5.所以当工厂生产600台产品时,盈利最大.15.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.解:(1)设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x10,1 000时,f(x)是增函数;f(x)9恒成立;f(x)恒成立.函数模型f(x)=+2不符合公司要求.当x10,1 000时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(1 000)=+2=+2,所以f(x)不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.(2)对于函数模型f(x)=,即f(x)=10-,当3a+200,即a-时递增,要使f(x)9对x10,1 000时恒成立,即f(1 000)9,所以3a+181 000,所以a,要使f(x)对x10,1 000时恒成立,即,所以x2-48x+15a0恒成立,所以a.综上,a,所以满足条件的最小的正整数a的值为328.好题天天练(2016江苏苏北三市高三最后一次模拟)经市场调查,某商品每吨的价格为x(1x0);月需求量为y2万吨且y2=-x2-x+1.当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a=,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?(2)记