高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨123平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线学案.docx

一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线1了解平行射影的含义，体会平行射影2会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)(重点)3会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)基础初探教材整理1射影阅读教材P43P44，完成下列问题1正射影给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A，称点A为点A在平面上的正射影一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影2平行射影设直线l与平面相交(如图311)，称直线l的方向为投影方向过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A，称点A 为A沿l的方向在平面上的平行射影一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影图311下列说法正确的是()A平行射影是正射影B正射影是平行射影C同一个图形的平行射影和正射影相同D圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B正确【答案】B教材整理2两个定理阅读教材P44P51，完成下列问题1椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆2两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则(1)，平面与圆锥的交线为椭圆；(2)，平面与圆锥的交线为抛物线；(3)1，曲线为双曲线【答案】双曲线5过RtBPC的直角顶点P作线段PA平面BPC.求证：ABC的重心H是点P在平面ABC内的正射影【证明】连接AH并延长，交BC于点D，连接BH并延长，交AC于点E，连接PD，PH.H是ABC的垂心，BCAD.又AP平面PBC，且PD是斜线段AD在平面BPC上的射影，BCPD.显然PH在平面PBC内的射影在PD上，BCPH.同理可证：ACPH.故PH平面ABC，即H是P在平面ABC上的正射影我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；(3)一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；(4)若点P到ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是ABC的内心其中正确的命题是()A(3)B(3)(4)C(1)(3)D(2)(4)【解析】由平行投影变换的性质知，当两条线段共线、平行或两线段是过同一点的平面的斜线段时，才有(1)正确，在(2)中这条直线可能在平面外，(3)显然正确，(4)中P点有可能是ABC的旁心【答案】A2如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A内心的平行射影还是内心B重心的平行射影还是重心C垂心的平行射影还是垂心D外心的平行射影还是外心【解析】三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行射影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，而内心、外心、垂心都有可能改变故只有B正确【答案】B3已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为()【导学号：07370054】A.B.C.D.【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，母线与轴线的夹角45.又截面与轴线的夹角30，即，截线是双曲线，其离心率e.【答案】A4椭圆y21的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小是()A30 B45 C60 D120【解析】设所成的二面角为，因为a2，b1，c，所以cos ，所以30.【答案】A5设平面与圆柱的轴的夹角为(090)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面都相切，若已知Dandelin双球与平面的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A. B. C.D.【解析】Dandelin双球与平面的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b2c，所以e.【答案】B二、填空题6有下列说法：矩形的平行射影一定是矩形；梯形的平行射影一定是梯形；平行四边形的平行射影可能是正方形；正方形的平行射影一定是菱形其中正确命题有_(填上所有正确说法的序号)【解析】利用平行射影的概念和性质进行判断【答案】7在梯形ABCD中，ABCD，若梯形不在内，则它在上的射影是_【解析】如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在上的射影是一条线段如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面上的射影仍是梯形【答案】一条线段或一个梯形8一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为_【解析】由2a6，得a3，又ecos 45，cea3，b，圆柱面内切球的半径r.【答案】三、解答题9已知点A(1,2)在椭圆1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|2|PF|最小【解】如图所示，a216，b212，c24，c2，F为椭圆的右焦点，并且离心率为.设P到右准线的距离为d，则|PF|d，d2|PF|，|PA|2|PF|PA|d.由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|d最小，把y2代入1，得x，即点P为所求10在空间中，取直线l为轴直线l与l相交于O点，夹角为.l绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为.试用Dandelin双球证明：当时，平面与圆锥的交线为抛物线. 【导学号：07370055】【证明】如图：设Dandelin双球与圆锥面的交线为圆S.记圆所在的平面为，与的交线为m.在平面与圆锥面的交线上任取一点P，设平面与Dandlin球的切点为F，连接PF.在平面中过P作m的垂线，垂足为A，过P作的垂线，垂足为B，连接AB，则AB为PA在平面上的射影显然，mAB，故PAB是平面与平面所成的二面角的平面角在RtAPB中，APB，则PBPAcos .又设过点P的母线交圆S于点Q，则PQPF.在RtPBQ中，PBPQcos ，PBPFcos .由得.因为，所以1，即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离故点P的轨迹为抛物线能力提升1一平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为()A.B.C2D.【解析】由2a6，即a3，又ecos 45，故bcea3，即为圆柱面的半径【答案】D2设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120，当圆锥的截面与轴成45角时，则截得二次曲线的离心率为()A. B.C1D.【解析】由题意知60，45，满足，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e.【答案】B3在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_【解析】如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1OOD，O1COA，故OO1CAOD，且O1COD6，所以RtOO1CRtAOD，则AOO1O.故AB2AO2O1OO1O213.显然AB即为椭圆的长轴，所以AB13.【答案】34.如图317，圆柱被平面所截已知AC是圆柱口在平面上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EGFH，EFAB，垂足