《弹性力学》第十一章弹性波.ppt

1 概述 1-1 弹性体的运动微分方程 11-2 无旋波与等容波 11-3 横波与纵波 11-4 球面波 第十一章 弹性波 2 概述 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不 是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力 。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受 干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力 ，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波 动就称为弹性波。 本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程， 然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。 3 11-1 弹性体的运动微分方程 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用 于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力 问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。 本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。 4 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了 考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为: 其中为弹性体的密度。 5 由平衡关系，并简化后得： 上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和 物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。 6 注1：几何方程 7 注2：物理方程 8 由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令： 得： 9 这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称 为拉密（Lame)方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外， 由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题 还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运 动微分方程简化为： 10 11-2 无旋波与等容波 一、无旋波 所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋 转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。 假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为： 其中 是位移的势函数。这种位移称为无旋位 移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。 11 证：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量 即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 将 代入，可得： 同理 得证 12 在无旋位移状态下 从而 同理 将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后 得无旋波的波动方程 13 其中 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度 14 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。 二、等容波 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即： 这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。 15 由于 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等 容波的波动方程： 其中 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。 16 对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论 ：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以 相同的方式与速度进行传播。 17 11-3 纵波与横波 一、纵波 定义 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示） 纵波的传播形式纵波的传播形式 18 将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移 分量都有： 从而 而 19 代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为 恒等式，而第一式简化为： 其中 为纵波在弹性体中的传播速度。 显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是 一种无旋波。 20 纵波波动方程的通解是： 该通解的物理意义：以其第一项为例，函数 在某 一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示 （假设是这种形状），在 时间之后，函数变为： 如果令 ，则函数可写为 ，其形式 同原函数 完全类同，只是横坐标发生平移 见图。因此 表示以速度 向x轴正向传播的波。 21 同理 ，表示以同样速度 向x轴负向传播的波。 整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其 传播速度为波动方程的系数 。 c a b x (a) (b) 22 二、横波 定义 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。 横波的传播形式 23 仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则 弹性体内任取一点的位移分量都有 从而 而 代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒 等式，第二式简化为： 为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变 24 横波的波动方程的通解为： ，故横波为等容波。 显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的 位移沿着 y方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于 常量 。 25 11-4 球面波 如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面， 则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时 ，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面 波。 球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程： 此时， ，而不计体力时，用径向惯性力 代替 ， 26 则上式简写成 即得： 令： 假定 则 是位移的势函数。代入（a）式得 （a） 27 所以（b）式可写成 由于 （b） 28 它的通解是： 对r积分一次，得： 由于令F(t)=0，并不会影响位移 ，因此上式可简写成为： 显然，球面波的传播速度等于 (球面波是无旋波）。 表示由内向外传播的球面波， 表示由外向内传播的球面 波。 29 练习11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何