2016_2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明学案苏教版.docx

2.2.2间接证明1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题.(重点、难点)2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)基础初探教材整理间接证明阅读教材P49“例1”以上部分，完成下列问题.1.间接证明：(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.(2)常用方法：反证法.2.反证法(1)基本过程：反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).(2)证题步骤：1.判断正误：(1)反证法属于间接证明问题的一种方法.()(2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.()(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()(4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角.()【答案】(1)(2)(3)(4)2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时，正确的反设是_.【解析】“至少有一个角不大于60”的否定为“所有三角形的内角均大于60”.【答案】假设三个内角均大于60质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用反证法证明否定性命题(1)用反证法证明：“若方程ax2bxc0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为_.(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列.【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数.【答案】整数(2)假设， ， 成等差数列，则2，即ac24b.又a，b，c成等比数列，所以b2ac，即b，所以ac24，所以ac-20，即(-)20，所以，从而abc，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.原假设错误，故， ， 不成等差数列.1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.反证法证明问题的一般步骤再练一题1.(2016晋州高二检测)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.求证：数列Sn不是等比数列.【证明】假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾.所以数列Sn不是等比数列.用反证法证明存在性问题已知a，b，c(0,1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.【自主解答】假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.a，b，c(0,1)，1-a0,1-b0,1-c0.同理，.三式相加得，即，矛盾.所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q再练一题2.已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，所以acbd1，这与已知acbd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.探究共研型利用反证法证明唯一性命题探究1反证法解题的实质是什么？【提示】否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确.探究2应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用_.结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论.【提示】反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.【答案】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且ab.求证：过a，b，m有且只有一个平面.【精彩点拨】“有且只有”表示“存在且惟一”，因此在证明时，要分别从存在性和惟一性两方面来考虑.【自主解答】因为ab，所以过a，b有一个平面.又因为maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又因为Am，Bm，所以m，即过a，b，m有一个平面，如图. 假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面矛盾.因此，过a，b，m有且只有一个平面.用反证法证明惟一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性.再练一题3.若函数f(x)在区间a，b上的图象连续，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【证明】由于f(x)在a，b上的图象连续，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即02；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号).【解析】假设a，b均不大于1，即a1，b1.则均有可能成立，故不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选.【答案】4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误；所以一个三角形不能有两个直角；假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_.【导学号：97220020】【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为.【答案】5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根.【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b2-4ac0，24c2-4