八年级数学下册课后补习班辅导证明互逆命题讲学案苏科版.docx

证明；互逆命题【本讲教育信息】一. 教学内容：二、教学目标：1、了解证明的基本步骤和书写格式2、能从“同位角相等，两直线平行” “两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、性质定理，三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论3、感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值4、正确的理解互逆命题和逆命题的概念，会根据已知命题写出它的逆命题，会举反例证明一个命题是假命题三、教学重点：1、从“同位角相等，两直线平行” “两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论2、理解逆命题的意义教学难点：1、证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力2、证明一个命题是假命题四、课堂教学：（一）知识要点：知识点1：公理、证明公理：在原本里欧几里得创建了公理体系在众多的数学名词和数学命题中，挑选了数学名词和真命题，其中的数学名词称为原名，真命题作为公理本教材有如下公理：（1）同位角相等，两直线平行（2）两直线平行，同位角相等（3）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（5）三边对应相等的两个三角形全等（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等（7）等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实可以看作公理证明：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明证明与图形有关的命题的步骤：（1）根据命题，画出图形；（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的事项（即命题的结论）；（3）写出证明过程说明：证明的步骤主要适应于有文字叙述的证明题，而那些已经给出已知，求证和图形的证明题，只需要写出过程即可知识点2：定理经过证明的真命题称为定理本节的定理有：（1）内错角相等，两直线平行（2）同旁内角互补，两直线平行（3）两直线平行，内错角相等（4）两直线平行，同旁内角互补（5）三角形三个内角的和等于180三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角已经证明的定理也可以作为以后推理的依据知识点3：互逆命题，逆命题两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题一个命题条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有它的逆命题知识点4：反例举出一个例子说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？不正确，反例如：当a=2，b=2时，虽然a2=b2，但是ab，这样的例子称为反例在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需要举一个反例即可而要说明一个命题是真命题，就必须经过证明几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要的方法【典型例题】例1、填空题（1）命题：“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是_，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 （2）命题：“等边三角形是锐角三角形”是 命题；写出其逆命题 ，该命题是 命题解：略例2、判断下列命题：等腰三角形是轴对称图形；若a1且b1，则a+b2全等三角形对应角的平分线相等；直角三角形的两锐角互余其中逆命题正确的有（A）A、1个 B、2个 C、3个 D、0个解：，的逆命题不正确 的逆命题正确例3、如图，ABCD，AB与DE相交于点G，B=D问题：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？解：结论是 DEBF 证明：因为ABCD（已知）所以EGA=D（两直线平行，同位角相等 ）又因为B=D （已知）所以EGA=B（等量代换 ）所以DEBF（ 同位角相等 ， 两直线平行 ）上面的推理过程用符号“”表达为：ABCDBF问题1：还有不同的方法可以证明DEBF吗？问题2：在图中，如果DEBF，B=D，那么你得到什么结论？证明你的结论说明：问题2构造了原命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理的例4、试判断命题：“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等”的真假性，若为假命题，请举反例说明解：这是一个假命题虽然第一个图满足条件，也满足结论但是第二个图也满足条件却不满足结论例5、写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题（1）若ac2bc2，则ab；（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等；（3）若ab=0，则a=0 分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下就行判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然解答：（1）逆命题为：若ab，则ac2bc2假命题，如c=0，ac2=bc2（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题（3）逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题例6、如图，ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求B的度数分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理体会在解答求解中的推理及书写格式解：AB=AC（已知）B=C（等边对等角） 同理，B=BAD，CAD=CDA设B=x，则C=x，BAD=x，ADC=2x， CAD=2x在ADC中，C+CAD+ADC=180x+2 x+ 2x=180 x=36 答：B的度数为36例7、给下面的证明过程注明理由已知AB=DC，BAD=CDA求证：ABC=DCB证明：连结AC、BD交点为O在ADB与DAC中因为BAD=ADC（已知）AD=DA（公共边）AB=DC（已知）所以ADBDAC（SAS）所以BD=CA（全等三角形对应边相等）又在ABC与DCB中因为BD=CA（已证）AB=DC（已知）BC=BC（公共边）所以ABCDCB（SSS）所以ABC=DCB（全等三角形对应角相等）说明：要体验在证明题中的推理及书写格式例8、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中一种情形，证明ABC是等腰三角形分析：本题第（1）小题属于条件开放性问题，也是制造命题的问题，经过探索补全条件，然后写出证明；第（2）小题若选择情形一，即条件，由于条件都集中在BOE和COD中，故可通过BOECOD，证得OB=OC，这样OBC=OCB，从而可证得ABC=ACB，进而得AB=AC解：（1）可判定ABC是等腰三角形的两个条件是或或或（2）选择情形一，即条件在BOE和COD中BOE=COD，EBO=DCO，BE=CD，BOECOD（AAS）OB=OCOBC=OCBEBO=DCO，ABC=ACBAB=AC即ABC是等腰三角形说明：本题第（1）小题是开放性问题， 属于条件开放型，需解题者经过探索补全条件，然后完成解答，本题还着重考查了全等三角形的识别等腰三角形的识别与性质，以及数学中的分类思想例9、已知：如图，ABCD，求证：B+D=BED1分析：可以考虑把BED变成两个角的和如图，过E点引一条直线EFAB，则有B=1，再设法证明D=2，需证EFCD，这可通过已知ABCD和EFAB得到证明：过点E作EFAB，（已作图），则B=1（两直线平行，内错角相等）ABCD（已知），又EFAB（已作），EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）D=2（两直线平行，内错角相等）又BED=1+2，BED=B+D（等量代换）例10、已知：如图，ABCD，求证：BED=360（B+D）分析：此题与例9的区别在于E点的位置及结论我们通常所说的BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例9的结论是一致的因此，我们模仿例9作辅助线，不难解决此题证明：过点E作EFAB，则B+1=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD（已知），EFAB（已作），EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）D+2=180（两直线平行，同旁内角互补）B+1+D+2=180+180（等式的性质）又BED=1+2，B+D+BED=360（等量代换）BED=360（B+D）（等式的性质）例11、已知：如图，ABCD，求证：BED=DB分析：此题与例9的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同模仿例9作辅助线的方法，可以解决此题证明：过点E作EFAB，则FEB=B（两直线平行，内错角相等）ABCD（已知），又EFAB（已作），EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）FED=D（两直线平行，内错角相等）BED=FEDFEB，BED=DB（等量代换）例12、已知：如图，ABCD，求证：BED=BD分析：此题与例9类似，只是B、D的大小发生了变化证明：过点E作EFAB，则1+B=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD（已知），又EFAB（已作），EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）FED+D=180（两直线平行，同旁内角互补）1+2+D=1801+2+D（1+B）=180180（等式的性质）2=BD（等式的性质）即BED=BD例13、已知：如图1，ABCD，ABF=DCE求证：BFE=FEC图1证法一：过F点作FGAB ，则ABF=1（两直线平行，内错角相等）过E点作EHCD ，则DCE=4（两直线平行，内错角相等）FGAB（已作），ABCD（已知），FGCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）又EHCD （已知），FGEH（平行于同一直线的两条直线互相平行）2=3（两直线平行，内错角相等）1+2=3+4（等式的性质）即BFE=FEC证法二：如图2，延长BF、DC相交于G点ABCD（已知），1=ABF（两直线平行，内错角相等）又ABF=DCE（已知），1=DCE（等量代换）BGEC（同位角相等，两直线平行）BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）图2证法三：（如图3）连结BCABCD（已知），ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）又ABF=DCE（已知），ABCABF =BCDDCE（等式的性质）即FBC=BCEBFEC（内错角相等，两直线平行）BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）图3【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、填空题1、命题：直角都相等；若ab0且a+b0，则a0且b0；一个角的补角大于这个角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半其中原命题和逆命题都为真命题的有 2、ABC中，B=45，C=72，那么与A相邻的一个外角等于 3、如下图，AD、AE分别是ABC的角平分线和高，B=50，C=70，则EAD= 4、ABC中，BP平分B，CP平分C，若A=60，则BPC= 5、ABC中，A是B的2倍，C比A + B还大，那么A = 度6、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形7、在ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 8、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的积是 cm2 二、选择题1、下面有3个命题：同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直于同一直线的两直线互相平行其中真命题为（） （A） （B） （C） （D）2、下面有3个判断：一个三角形的3个内角中最多有1个直角；一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；一个三角形的3个内角中至少有1个钝角其中正确的有（） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个3、一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（） （A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）钝角三角形 （D）何类三角形不能确定4、已知点A在点B的北偏东40方向，则点B在点A的（） （A）北偏东50方向 （B）南偏西50方向 （C）南偏东40方向 （D）南偏西40方向5、如图，已知ABCDEF，ABC=50，CEF=150，则BCE的值为（）（A）50 （B）30 （C）20 （D）606、如图，已知FDBE，则1+2A=（）（A）90 （B）135 （C）150 （D）1807、下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（） （A）只有（1） （B）只有（2） （C）只有（1）和（2） （D）一个也没有8、锐角三角形中，最大角的取值范围是（ ）A、090B、6090C、60180D、60909、下列命题中的真命题是（ ）A、锐角大于它的余角B、锐角大于它的补角 C、钝角大于它的补角 D、锐角与钝角之和等于平角10、已知下列命题：相等的角是对顶角；互补的角就是平角；互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；平行于同一条直线的两直线平行；邻补角的平分线互相垂直其中，正确命题的个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个11、如图，如果ABCD，则角、之间的关系式为（ ）A、=360 B、=180C、=180 D、=180三、解答题1、如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明AB=DE，AC = DF，ABC=DEF，BE=CF已知：求证：证明：2、写出下列命题的逆命题，并指出其真假（1）若ab=0，则a=0 （2）角平分线