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二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 1 1.准则1（数列极限存在的夹逼准则 ) 证: 由条件 (2) , 当时,当 时, 令 则当时, 有 由条件 (1) 即故 一、极限存在准则 2 例1. 证明 证: 利用夹逼准则 . 且 由 3 准则1 函数极限存在的夹逼准则 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 4 3. 准则2 单调有界数列必有极限 （单调有界原理 ) ( 证明略 ) 5 例2. 设证明数列 极限存在 . (P49) 证: 利用二项式公式(P270 ), 有 6 大 大 正 又 比较可知 7 根据准则 2 可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 8 故极限存在， 例3 设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 9 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 时， 显然有 AOB 的面积AOD的面积 故有 重要极限1 10 当时 注 11 例4. 求下列函数的极限 2 . 1. 12 解: 令则因此 原式 3. 4. 解: 令则因此 原式 13 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第七讲 14 例5. 计算下列函数的极限 2. 3. 1. 15 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 例6. 已知圆内接正 n 边形面积为 16 重要极限2. 证: 当时, 设则 17 当则从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 18 例7 已知求 C。 解: 原式 = 19 例8 求下列极限 解: 令则 说明 ：若利用则 原式 解原式 20 解: I = 解: 原式 = 3. 21 5、 解法一： 解法二： 22 6、 解: 原式 = 说明: 若 则有 23 解: 原式 = 7、 24 内容小结 1. 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则 2. 两个重要极限 或 注: 代表相同的表达式 25 思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知, 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设由递推式两边取极限得 不对!此处 2
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