2019版高考数学第9章平面解析几何5第5讲椭圆教案.docx

第5讲椭圆1椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.4椭圆中四个常用结论(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|ac，ac，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ac，最小值为ac；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦；(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则PF1F2的周长为2(ac)(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1D.1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1. 与椭圆1有相同离心率的椭圆方程是()A.1B.1C.1D.1解析：选A.椭圆1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同 若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得解得3kb0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周长为16，则|AF2|_(2)(2018徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_【解析】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，因为ABF2的周长为16，所以4a16，所以a4.则|AF1|AF2|2a8，所以|AF2|8|AF1|835.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.【答案】(1)5(2)3 本例(2)中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解：由原题得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故椭圆的方程为1.(1)椭圆定义的应用范围确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示，设F1PF2.|PF1|PF2|2a.4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .焦点三角形的周长为2(ac)SPF1F2|PF1|PF2|sin b2b2tan c|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc. 已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆椭圆的标准方程 典例引领 (待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1D.1【解析】(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.(2)设所求椭圆方程为1(k0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB) 通关练习1已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则该椭圆的方程为_解析：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得所以所求椭圆方程为1.答案：12已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2，0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.答案：1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)由椭圆的方程研究其性质；(2)求椭圆离心率的值(范围)；(3)由椭圆的性质求参数的值(范围) 典例引领 角度一由椭圆的方程研究其性质 已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0)B(0，)C(，0)或(，0)D(0，)或(，0)【解析】因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x21的焦点坐标为(0，)，故选B.【答案】B角度二求椭圆离心率的值(范围) (2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e，选A.【答案】A角度三由椭圆的性质求参数的值(范围) 已知椭圆mx24y21的离心率为，则实数m等于()A2B2或C2或6D2或8【解析】显然m0且m4，当0m4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8.【答案】D(1)求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式e直接求解列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围 通关练习1已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10，0)D(5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)，所以c3.又b4，所以a5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(5，0)2(2018新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是()AeBeC.eD0e或eb0)由题意得解得c.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，n)由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE.所以直线DE的方程为y(xm)直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于x(或y)的一元二次方程；当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率，k0) 已知椭圆C：1(ab0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)当F2AB的面积为时，求直线的方程解：(1)因为椭圆C：1(ab0)过点，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线的倾斜角为时，A，B，SABF2|AB|F1F2|323.当直线的倾斜角不为时，设直线方程为yk(x1)，代入1得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以SABF2|y1y2|F1F2|k|k| ，所以17k4k2180，解得k21，所以k1，所以所求直线的方程为xy10或xy10. 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn) 与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定注意函数的定义域 易错防范(1)判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小(2)在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系 1已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D5解析：选A.因为椭圆1的焦点在x轴上所以解得6mb0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得1，所以5e22e30，又0eb0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D.由题意可设P，因为PF1的中垂线过点F2，所以|F1F2|F2P|，即2c ，整理得y23c22a2.因为y20，所以3c22a20，即3e220，解得e.所以e的取值范围是.6(2018贵阳模拟)若椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知e，2b4，得b2，所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案：17设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为_解析：因为|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，所以|PF1|8，|PF2|6.因为|F1F2|10，所以PF1PF2.所以SPF1F2|PF1|PF2|8624.答案：248(2018海南海口模拟)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为，则该椭圆的离心率为_解析：因为椭圆1(ab0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(c，0)，所以直线BF1的方程是yxb，OT的方程是yx.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为.由ATBF1得，1，因为a2b2c2，e，所以e.答案：9分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为1或1.10(2018兰州市诊断考试)已知椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足2，求点P的轨迹方程解：(1)因为e，所以，又椭圆C经过点(，1)，所以1，解得a24，b22，所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得xx12x2，yy12y2，因为点M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkON，因