高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式学案新人教A版.docx

一二维形式的柯西不等式1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义(难点)2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题(重点)基础初探教材整理二维形式的柯西不等式阅读教材P31P36，完成下列问题内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2当且仅当adbc时，等号成立向量形式设，是两个向量，则|当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2R，那么当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A.B.C. D.【解析】2x23y2(2x23y2)(xy)2.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型二维柯西不等式的向量形式及应用已知p，q均为正数，且p3q32.求证：pq2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量【自主解答】设mp，q，n(p，q)，则p2q2ppqq|mn|m|n|.又(pq)22(p2q2)，p2q2，则(pq)48(pq)又pq0，(pq)38，故pq2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量同时，要注意向量模的计算公式|a|对数学式子变形的影响再练一题1若本例的条件中，把“p3q32”改为“p2q22”，试判断结论是否仍然成立？【解】设m(p，q)，n(1,1)，则pqp1q1|mn|m|n|.又p2q22.pq2.故仍有结论pq2成立.运用柯西不等式求最值若2x3y1，求4x29y2的最小值【精彩点拨】由2x3y1以及4x29y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(1212)作为一个因式而解决问题【自主解答】由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2，当且仅当2x13y1，即x，y时取等号4x29y2的最小值为.1利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果2常用的配凑的技巧有：巧拆常数；重新安排某些项的次序；适当添项；适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的再练一题2若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点. 【导学号：32750048】【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4.所以x2y2，当且仅当时，“”成立为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.探究共研型二维柯西不等式代数形式的应用探究在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成吗？【提示】不可以当bd0时，柯西不等式成立，但不成立已知|3x4y|5，求证：x2y21.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明【自主解答】由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2).又因为|3x4y|5，所以1，即x2y21.1利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形2变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口再练一题3设a，bR且ab2.求证：2.【证明】根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2，当且仅当，即ab1时等号成立2.构建体系二维柯西不等式1设x，yR，且2x3y13，则x2y2的最小值为()A.B169C13D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，bR，且ab1，则()2的最大值是() 【导学号：32750049】A2 B.C6D.12【解析】()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立故选D.【答案】D3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_.【解析】|a|5，且 |b|1，ab|a|b|，因此，b与a共线，且方向相同，b.【答案】4已知x，y0，的最小值为4，则xy_.【解析】，4.又0，1，xy1.【答案】15已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小值【解】构造两组实数，；，.x，y，a，bR，1，xy()2()2()2，当且仅当，即时取等号，(xy)min()2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A1B2C.D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby.【答案】C2已知a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22D.a2b23【解析】(1212)(a2b2)(ab)24，a2b22.【答案】C3已知a，bR，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是() 【导学号：32750050】APQ BPQ【解析】设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2，即PQ.【答案】A4若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2C，D.(，)【解析】(a2b2)12(1)2(ab)2.a2b210，(ab)220.2ab2.【答案】A5若ab1且a，b同号，则22的最小值为()A1 B2C. D.【解析】a22b22(a2b2)4.ab1，ab，a2b2(a2b2)(11)(ab)2，114217，4.【答案】C二、填空题6设实数x，y满足3x22y26，则P2xy的最大值为_【解析】由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，于是2xy.【答案】7设xy0，则的最小值为_【解析】原式9(当且仅当xy时取等号)【答案】98设x，yR，且x2y8，则的最小值为_【解析】(x2y)()2()225，当且仅当，即x，y时，“”成立又x2y8，.【答案】三、解答题9已知为锐角，a，b均为正实数求证：(ab)2.【证明】设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n| ，(ab)2.10已知实数a，b，c满足a2bc1，a2b2c21，求证：c1.【证明】因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得(1222)(a2b2)(a2b)2，当且仅当b2a时，等号成立，即5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.能力提升1函数y2的最大值是()A.B. C3D5【解析】根据柯西不等式，知y12.【答案】B2已知4x25y21，则2xy的最大值是()A.B1 C3D9【解析】2xy2x1y1.2xy的最大值为.【答案】A3函数f(x)的最大值为_【导学号：32750051】【解析】设函数有意义时x满足x22，由柯西不等式得f(x)2(12)，f(x)，当且仅当2x2，即x2