经济数学第1章函数极限与连续.pptx

1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性 第1章 函数极限与连续 结束 当自变量x取数值 时，与 对应的因变量y的值 称为函数 在点 处的函数值,记为 或 .当x 取遍D内的各个数值时, 对应的变量y 取值的全体组 成 定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取 一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的 数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作 称D为该函数的定义域.记为Df 称x为自变量，称y为因变量. 1.1.1 函数的概念 数集称做这个函数的值域.记为Zf 。 1.1 函 数 1.1.2 函数的表示法 例1 已知某商品的总成本函数为： 例2 某工厂全年16月原材料进货数量如下表， 这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系 T(月)123456 Q(吨)111012111212 (1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关 系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数. (2)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出 (3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系. 例3 需求函数与供给函 数. , 如图.P表示商品价格,Q 表示需求量,供给量,E点 为需求和供给平衡点 S S E Q P O Q=(P) Q=f(P) 说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角 函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相 互补充。 例4 求函数 的定义域 (1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要 素。 注: (2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则 它们是相同的函数 (4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义 域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组 成的数集. (3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的. 解 当分母 时,此函数式都有意义 因此函数的定义域为 例5 求函数 的定义域. 所以函数的定义域为 与 . 解 要使函数y 有定义，必须使 这两个不等式的公共解为 解 当 时,函数值 设有函数 ,问它们是否为 同一个函数. 例6 由于 与 的定义域不同,所以它们不是 同一个函数. 但是 的定义域 而 在点 无定义 其定义域为 在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的 不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函 数称为分段函数 例如符号函数 是一个分段函数，它的定义域为 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不 是表示几个函数. f (x)的定义域是0,2， 例7 当 时,当 时, 定义 设y是u的函数，y = f (u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域包含f (u)的定义 域，即 ，则y 通过u 的联系也是x的函 数，称此函数是由y =f(u) 及 复合而成的复合 函数，记作 1.1.3 复合函数 并称 x 为自变量，称 u 为中间变量. 例8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成. 解 复合而成,并易知其定义域为 例9 求由函数 组成的复合函数并求其 定义域. 解 由于 的定义域为 与u=3x1的值域 有公共部分， 由于 必须 ，从而 ， 故复合函数的定义域是 . 所以由它们可以组成复合函数 例10 设 解 (1)幂函数 幂函数 的定义域随 的不同而不同. 1.基本初等函数 ( 是常数) 当 为无理数时,规定 的定义域为 指数函数 的定义域为 .当a1时，它严 格单调增加；当01时，它严格单调增加；当0a1 时，它严格单调减少.对于任何限定的a， 的 值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点. (2)指数函数 是常数） 在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以 e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数. 这里 e =2.718 2818 ， 是一个无理数. (4)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x; 余弦函数 y=cos x; y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们 都是以 为周期的函数，都是有界函数. 数，并且在开区间 内都是无界函数. 正切函数 y=tan x; 余切函数 y=cot x; tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定 义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是 偶函数. 此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中 .它们都是以 为周期的函 (5)反三角函数 三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函 数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支 ，称为主值分支，分别记作 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 2 初等函数 定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经 过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数 ，称 为初等函数. 初等函数都可以用一个公式表式 大部分分段函数不是初等函数 是非初等函数 定义3 设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为 Zf ,对任意y Zf ,如果有唯一确定的满足y=f(x)的x Df与 之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我 们称它为函数y =f (x)的反函数，记作 1.1.5 反函数与隐函数 1 反函数 习惯上，常用x来表示自变量，y 表示因变量，所 以我们可以将反函数改写成 在直角坐标系中的 图形与y=f(x)的图形是 关于直线y = x 对称的. 例11 设函数y=2x3，求它的反函数并画出图形. 解 于是得反函数 变量之间的函数关系，是由某个二元方程 给 出的，这样的函数称为隐函数 例 有些隐函数可以改写成显函数的形式，而有些隐函数不 能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做 隐函数的显化 2 隐函数 1 奇偶性 设函数y =f (x) 的定义域D是关于原点对称的，即 当 时， 有 . 则称f (x)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 如果对于任意的 ，均有 则称函数f (x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称. 如果对任意的 ,均有 1.1.6 函数的基本性质 例12 讨论下列函数的奇偶性: 解 设函数y=f (x), 如果存在正常数 T,使得对于定义域内 的任何x均有 f (x + T)=f (x) 成立，则称函数y=f (x)为 显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f (x) 的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就 是指最小正周期. 2 周期性 周期函数，T为f (x)的周期. 例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的 周期函数； 函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数. 解 设所求的周期为T，由于 例13 求函数 的周期，其中 为常数 并注意到 的周期为 ,只需 使上式成立的最小正数为 所以函数 的周期为 3 单调性 设函数y = f (x) 在区间I上有定义(即是函数y =f (x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的 ，当 时，均有 则称函数y =f (x)在区间上单调增加(或单调减少). 单调增加(或单调减少)的函数又称为单调递增 (单调递减)函数,统称为单调函数,使函数保持单调 性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间. 函数 内是单调减少的，在 区间 上是单调增加的,而在区间 内则不是单调函数. 单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的； 例如，函数 内是单调增加的. 4 有界性 设函数y =f (x)的定义域为D，数集 ,如果存 在正数M，使得对于任意的 ,都有不等式 成立，则称f (x)在X上有界，如果这样的M不存在，就 称函数f (x)在X上无界. 如果M为f (x)的一个界，易知比M大的任何一个正 数都是f (x)的界. 如果f (x)在x上无界，那么对于任意一个给定的 正数M，X中总有相应的点 ，使 . 当函数y=f (x)在区间a,b上有界时，函数y =f (x) 的图形恰好位于直线y =M 和y = 之间. 这里取 = 1. 函数y = sin x 的图形位于直线y =1与y = 1之间. 例如，函数f (x)=sin x在 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立， 应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的 特点，还要注意自变量的变化范围. 例如，函数 在区间(1,2)内是有界的. 事实上，若取=1，则对于任何 而 在区间(0,1)内是无界的. 1.1.7 函数关系的建立 例14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以 内，每千米k元；超过千米，超过部分每千米 元,求 运价P 和运送里程s 之间的函数关系 解 根据题意可列出函数关系如下 这里运价P和运送里程s 之间的函数关系是用 分段函数表示的 总成本函数 平均成本函数 1 总成本函数 某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额 ，它由固定成本与可变成本组成 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产品的 成本 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件 下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数 1.1.8 常见的经济函数 2 总收益函数 总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，是 销售量的函数 设p为商品价格，为Q 销售量，为总收益，则有 总收益函数 平均收益函数 3 总利润函数 设某商品的成本函数为C，销售收益函数R为， 则销售某商品个单位时的总利润函数为 例15 已知某产品的总成本函数为 求当生产100个该种产品时的总成本和平均成本 平均成本为 4 需求函数与供给函数 解 由题意，产量为100时的 总成本函数为 1 数列的概念 定义1 自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数 称为数列，将其简记为 称为数列的通项或一般项 1.2.1 数列的极限 1.2 极限的概念 (1) (3) (4 ) (2) 即 数列 数列 数列 2.数列的极限 数列（1）当n无限增大时, 无限趋近于0， 即数列（1）以0为它的变化趋向； 数列（2）当n无限增大时, un = 无限趋近于常数 1, 即数列（2）以1为它的变化趋向； 数列（3），当n无限增大时， 其奇数项为1，偶 数项为-1，随着n 的增大，它的通项在-1,+1之间变动， 所以当n 无限增大时，没有确定的变化趋向； 数列（4）当n 无限增大时，un也无限增大 定义2 如果当n无限地增大时，通项un无限地趋向于 某个确定的常数a，则说当n趋于无穷大时，un 以a为极 限，记成 但是，像数列 等 当n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势 ？如果有，极限是什么？ 直观上可以看出 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列. 成立,则称数列 是单调减少的. 若有 3.单调数列与有界数列 数列(2) (4)是单调增加的，数列(1)单调减少的. 对于数列 ,若有 成立,则称数列 是单调增加的; 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n 都有 成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证数列(1)(2)(3)是有界的；而数列(4)是无 界的. 无界数列一定是发散的. 注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件. 例如，数列 是有界的，而 却是发散数列. 定理1 单调有界数列必有极限 1 .当x时,函数f (x)的极限 函数 当x+时,函数 f (x) 无限趋近于常 数1，此时我们称1为当x+时函 数f (x)的极限. 定义3 如果当自变量x无限增大时，函数f (x)无限趋近 于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+时 的极限，记为 或 1.2.2 函数的极限 -1 1 当x-时,函数 f (x) 无限趋近于常数1，此时我们称1为 当x-时函数f (x)的极限. 定义4 如果当 无限增大时，函数f (x)无限趋近 于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+ 时的极限，记为 (x)或 定理2 的充要条件是 2 当xx0时,函数f (x)的极限 当x1时, 的值无限趋近 于常数2，此时我们称当x趋近于1时， 函数 极限为2 定义5 设函数 f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）, 如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于 某个确定的常数 A,则称A为函数 f(x) 当xx0时的极限， 或 2 1 考查函数 记为 2 在定义5中，x 是以任意方式趋近于 的，但在 有些问题中，往往只需要考虑点x 从 的一侧趋近于 时，函数f (x)的变化趋向 注: 1. 在 时的极限是否存在,与 在 点 处有无定义以及在点 处的函数值无关 如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限 ，记为或 如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极 或 ( ) 限，记为 函数的极限与左、右极限有如下关系： 定理3 注: 定理3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例2 判断函数 在 点处是否有极限. 解: 因为所以 定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的 2 函数极限的性质 定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x x0时极限存在， 则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界 定理6(两边夹定理) 如果对于x0的某邻域内的一切 x ( 可以除外)，有 ，且 则 1.无穷小量 定义7 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y 在此过程下为无穷小量，简称无穷小. 1.2.3 无穷小量与无穷大量 例3 例4 时的无穷小量. 时的无穷小量. 因为 所以 因为 所以 例如函数 时的无穷小，但当 时不是无穷小。 当 时， 的极限不为零，所以当 时，函数 不是无穷小，而当 时 是无穷小量。 应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极 限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指 出其变化过程。 定理7 在自变量的同一变化过程中 (1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. (4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. (3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小. (2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 2 .无穷小的性质 例5 解 注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得， 因为 不存在. 所以 时的无穷小量. 为有界变量, 3. 无穷大量 定义8 在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对 值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无 穷大量，简称无穷大.记作 记f (x)是无穷大，只 是为了书写的方便，同时也表明了当 时f (x)虽然 无极限，但还是有明确趋向的.无穷大量是一个绝对值可 无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数. 注意： 函数f (x)当 时为无穷大，则极限 是不存在的.利用记号 4 无穷小与无穷大的关系 简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变 化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒 数是无穷大. 定理9 在自变量的同一变化过程中，若f (x)为无穷大, 则 为无穷小;反之,若f (x)为无穷小且f (x)不等于0,则 为无穷大. 例如： 以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果. 例6 解 例7 考察 当 时， 为无穷大量； 当 时， 为无穷小量； 定理1 设 ,则 1.3.1 极限的运算法则 下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结 论对数列极限也成立. 1.3 极限的运算 其中自变量x的趋势可以是 等各种情形. 定理1中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数 和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有 推论2 设limf(x)存在，则对于正整数k，有 例1 解 一般地，设有多项式(有理整函数 ) 则有 即 例2 解 设有理分式函数 式(1)与式(2)说明对于有理函数求关于 的 极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是 在 点处的函数值，以后可以当做公式使用. 例3 解 例4 解 例5 解 例6 ，然后再求极限，得分母同时除以分子, 3 x解 一般地,对于有理分式有: 其中n,m为正整数 1.3.2 两个重要极限 重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立. 证 设圆心角 过点A作圆的切线与OB的 延长线交于点C，又作 则sin x =BD，tan x=AC， B OD A C x 当 时 首先证明不等式 当 时有 即当 时 B OD A C x 而当 时有 ,从而 即当 时有 这就证明了不等式 . 从而有 由夹逼准则，即得 例7 解 1coslim 0 此题中用到x x = 例8 解 例9 解 这是重要极限2常用的另一种形式. 重要极限2 例10 解 令 ,则当 时, ,因此 例11 解 例12 设有本金1000元，若用连续复利计算，年利 率为8%，问5年末可得本利和为多少？ 解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为 若复利一年计算n次，则x年末本利和为 x年末本利和为 所以 1.3.3 无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两 个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子. 这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速 度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度， 我们引入无穷小量阶的概念. 此时也称 是比 低阶的无穷小. (3)如果 ,则称 是比 阶的无穷小.记作 (2)如果 ,则称 与 是等价无穷小,记作 (1)如果 是常数),则称 是同阶无穷小. 定义 设 时为无穷 小(且 ). 所以当 时, 与x是等价无穷小,即 所以当 时, 是比x高阶的无穷小,即 例13 例14 因为 同理可知,当 时, 所以当 时, 是同阶无穷小. 关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理. 证 定理2 根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若 此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来 代替，如果选择适当，可简化运算. 用定理2求极限，需要预先知道一些等价无穷小. 一些常用的等价无穷小如下： 当 时 例15 解 例16 解 例17 解 注意： 相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换， 但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如 是完全错误的 1.4.1 函数连续性的概念 相应的函数的改变量（增量）: 函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为 1.改变量（增量）： 1.4 函数的连续性 0 当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为 定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义 ，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零 时，函数的增量 也趋于零，即 则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连 续点 2.连续 若记 ，则 ，且当 时， 故定义1又可叙述为 注： 定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有 ,则称函数 在点 处连续. （1）定义1与定义2是等价的, 即 由左右极限定义可定义左右连续定义 （2）由定义2可知若函数 在点 处连续，则函 数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续 （3）当函数 在点 处连续时，求 时， 只需求出 即可 定义3：若函数 满足 ，则称函 数 在点处左连续。 同理可以定义右连续 3、左右连续 4、区间连续 定义4：若函数 在（a , b）内每一点都连续 ，则称 函数 在（a , b）内连续。 由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右 连续即 证明 y = sin x在 内连续例1 证 对任意 有 因为 所以 故 在 内连续 定义5 若函数y = f(x)在（a , b）内每一点都连续，且 在左端点a 处右连续，在右端点b处左连续，则称函数 y = f (x)在a , b上连续。 1.4.2 函数的间断点及其分类 则一定满足以下条件 如果f(x)在点不能满足以