全国版高考数学第四章平面向量的概念及其线性运算课时提升作业理.docx

平面向量的概念及其线性运算(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以A不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正确;因为a-b=0,所以a=b,a与b不是相反向量,故D不正确.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016汉中模拟)已知点D是ABC的边AB的中点,则向量等于()A.-+B.-C.-D.+【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以=+=+=-+.【加固训练】如图,正六边形ABCDEF中,+=()A.0B.C.D.【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以+=+=+=,故选D.3.(2016长沙模拟)已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若=(1+)-,其中R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式=(1+)-进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点P的位置.【解析】选C.因为=(1+)-,所以-=(-),所以=,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.4.(2016石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0 B.a=b C.a与b共线反向 D.存在正实数,使a=b【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【加固训练】1.已知下列结论已知a是非零向量,R,则a与2a方向相同已知a是非零向量,R,则|a|=|a|若R,则a与a共线若a与b共线,则存在R,使a=b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.4【解析】选B.对于,当=0时,2a是零向量,0的方向是任意的,所以不正确;对于,0时,结论不成立,即不正确;对于,不论是否为零,或a是否为0,a与a都共线,所以正确;对于,当a0,b=0时,结论不正确.2.(2016淮南模拟)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,nR),则的值为()A.-2B.-C.2D.【解析】选A.如图.设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数,使得=,即ma+nb=b-a,又a与b不共线,则所以=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选A.如图,因为E是AD的中点,EFABFC,所以=.所以=(-)=(-)=-.又因为=m+n,与不共线,所以m=,n=-,=-2.5.已知D为ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则ABM与ABC的面积比为()A.B.C.D.【解题提示】只要结合图形,明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为与之间的关系.【解析】选C.如图,由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-),即2=3,故=,故ABM与ABC同底且高的比为35,故SABMSABC=35.【加固训练】设O在ABC的内部,D为AB的中点,且+2=0,则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则=(+),又+2=0,所以=-,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以SAOC=SADC=SABC,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016郑州模拟)在ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a-b.答案:-a-b【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=.【解析】如图,因为在ABC中,=c,=b,且点D满足=2,所以+=2(+),=+=b+c.答案:b+c7.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足+=0,=,则实数的值为.【解析】如图,由+=0,得=+,因为=,D是BC边的中点,所以+=2,=2,=-2,故=-2.答案:-28.在ABC中,已知D是AB边上一点,=+,则实数=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E,过点D作DFAC,交BC于点F,连接CD,则=+.因为=+,所以=,=.由ADEABC,得=,所以=,故=.答案:【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设=x,因为=-,所以=x(-),=+=+x(-)=x+(1-x),又因为=+,所以+=x+(1-x).因为与不共线,所以即=.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016太原模拟)在ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为()A.B.C.1D.3【解析】选B.如图所示.设=,则=+=+=+(-)=+(-)=(1-)+,因为=,所以=,所以1-=,所以m=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.如图,因为=,所以=,=m+=m+,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=.2.(5分)O是ABC所在平面外一点且满足=+(+),为实数,则动点P的轨迹必经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确与是,方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与+共线后可解.【解析】选B.如图,设=,=,已知,均为单位向量,故AEDF为菱形,所以AD平分BAC,由=+得=,又与有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过ABC的内心.【加固训练】已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足=(+2),则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则+=,所以=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,又与有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.3.(5分)已知点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.【解析】=a,=b,=+=-a-b,故错;=+=a+b,故正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故正确;+=-b-a+a+b+b-a=0.故正确.答案:4.(12分)已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设tR,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,因为a,b不共线,所以有解之得t=.故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.5.(13分)(2016衡阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得=+=+(+)=+,又因为A,N,E三点共线,故=,即m+=,所以解得故实数m=.【加固训练】已知ABC中,=a,=b,