2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理.doc

1 平面向量与复数平面向量与复数 【考向解读考向解读】 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填 空题、难度中低档. 2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、 解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现. 【命题热点突破一命题热点突破一】平面向量的线性运算平面向量的线性运算 (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接” ，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点 所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点” ，结果向量的方向是指向被减向量 例 1、 【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a ，=，且()abb +，则m （ ） （A）8 （B）6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量ab(4,m2) ，由(ab)b 得4 3(m2) ( 2)0 ，解得m8，故选 D. 【变式探究】(1)设 00， 2 2 得 2sincos，tan . 1 2 (2)如图，设FB的中点为M，连接MD. 因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF. 因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点 1 3 方法二 易得EFMD，MDCF， 1 2 1 2 所以EFCF，所以CECF. 1 4 3 4 因为b ba a， CF CA AF AC AF 1 3 所以 (b ba a)a ab b. CE 3 4 1 3 1 4 3 4 所以x ，y ，则xy . 1 4 3 4 1 2 【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运 用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 【变式探究】 3 (1)已知向量i与j不共线，且imj，nij，m1，若A，B，D三点共线，则实数m，n AB AD 满足的条件是( ) Amn1Bmn1 Cmn1Dmn1 (2)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_. AM MC BN NC MN AB AC 【答案】(1)C (2) 1 2 1 6 【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以 i imj j(ni ij j)，m1，又向量i i与j j不共线，所以Error!Error!所以mn1. AB AD (2)如图， MN MC CN 1 3AC 1 2CB () 1 3AC 1 2 AB AC ， 1 2AB 1 6AC x ，y . 1 2 1 6 【命题热点突破二命题热点突破二】平面向量的数量积平面向量的数量积 (1)数量积的定义：ab|a|b|cos. (2)三个结论 若a(x，y)，则|a|. aax2y2 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |. AB x2x12y2y12 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角， 则 cos. ab |a|b| x1x2y1y2 x2 1y2 1x2 2y2 2 例 2、 【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点， 4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 4 【答案】 7 8 【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值 CP PD AP BP AB AD 是_ (2)在AOB中，G为AOB的重心，且AOB60，若6，则|的最小值是_ OA OB OG 【答案】(1)22 (2)2 【解析】(1)由3，得， CP PD DP 1 4DC 1 4AB AP AD DP AD 1 4AB BP AP AB AD 1 4AB AB AD .因为2，所以( 3 4AB AP BP AD )()2，即 2 1 4AB AD 3 4AB AD 22.又因为225，264，所以 22. 1 2AD AB 3 16AB AD AB AB AD (2)如图，在AOB中， () OG 2 3OE 2 3 1 2 OA OB 5 ()， 1 3 OA OB 又|cos606， OA OB OA OB |12， OA OB |2 ()2 (|2|22) (|2|212) (2|12) OG 1 9 OA OB 1 9 OA OB OA OB 1 9 OA OB 1 9 OA OB 364(当且仅当|时取等号) 1 9 OA OB |2，故|的最小值是 2. OG OG 【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2) 可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 【命题热点突破三命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型” ，高考常在平面向量与三角函 数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件 例 3、已知向量a(cos，sin)，b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，其中 0c，已 知2，cosB ，b3.求： BA BC 1 3 (1)a和c的值； (2)cos(BC)的值 【解析】(1)由2 得cacosB2. BA BC 又 cosB ，所以ac6. 1 3 由余弦定理，得a2c2b22accosB. 又b3，所以a2c2926 13. 1 3 7 解Error!Error!得Error!Error!或Error!Error! 因为ac，所以a3，c2. 【命题热点突破四命题热点突破四】复数的概念与运算复数的概念与运算 复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数对一些常 见的运算，如(1i)22i，i，i等要熟记 1i 1i 1i 1i 例 4、 【2016 高考天津理数】已知, a bR，i是虚数单位，若(1)(1)ibia，则 a b 的值为_. 【答案】2 【解析】由(1 i)(1i)1(1)ibbba ，可得 1 10 ba b ，所以 2 1 a b ，2 a b ，故答案为 2 【变式探究】(1)若复数 z，则|z|( ) 2 1 3i A B 1 2 3 2 C1 D2 (2)已知复数 z(i为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点在( ) 1i i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】(1)C (2)B 【解析】 (1)z i， ，所以|z|1. 2 1 3i 2（1 3i） 4 1 2 3 2 （1 2）2（ 3 2 ）2 8 (2)z1i，则复数 z1i，对应的点在第二象限 1i i 【高考真题解读高考真题解读】 1.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a ，=，且()abb +，则m （ ） （A）8 （B）6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量ab(4,m2) ，由(ab)b 得4 3(m2) ( 2)0 ，解得m8，故选 D. 2.【2016 高考江苏卷】如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点， 4BC CA ，1BF CF ，则BE CE 的值是 . 【答案】 7 8 【解析】因为 2222 11436 =4 2244 ADBCFDBC BA CABCADBCAD （）（）， 22 11114 1 23234 FDBC BF CFBCADBCAD （）（）， 因此 22513 , 82 FDBC ， 2222 114167 . 22448 EDBCFDBC BE CEBCEDBCED （）（） 3.【2016 年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA =DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P，M满足AP =1，PM =MC ，则 2 BM 的最大值是( ) （A） 43 4 （B） 49 4 （C） 376 3 4 （D） 372 33 4 【答案】B 【解析】甴已知易得1220 , DAADCADBDDBDCBC .以D为原点，直线 9 DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 2 , 0 ,1,3 ,1,3 .ABC设,P xy由已 知1AP ，得 2 2 21xy，又 1313 3 , 2222 xyxy PMMCMBM 2 2 2 +13 3 4 xy BM ，它表示圆 2 2 21xy 上的点 xy， 与点 1,3 3 的距 离的平方的 1 4 ， 2 22 2 max 149 33 31 44 BM ，故选 B. 1.【2016 新课标理】设(1)=1+ ,xiyi其中x,y实数,则i =xy( ) （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 【答案】B 【解析】因为(1)=1+ ,xiyi所以=1+ , =1,1,|=|1+ |2,xxiyi xyxxyii故选 B. 2.【2016 高考新课标 3 理数】若i12z ，则 4i 1zz （ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i 【答案】C 【解析】 4i4i i (12i)(1 2i) 11zz ，故选 C 3.【2016 高考新课标 2 理数】已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是（ ） （A）( 31) ， （B）( 13) ， （C）(1,)+ （D）(3) -， 【答案】A 10 【解析】要使复数z对应的点在第四象限应满足： m30 m 10 ，解得3m1 ，故选 A. 4.【2016 年高考北京理数】设aR，若复数(1)()i ai在复平面内对应的点位于实轴上，则 a _. 【答案】1 【解析】(1)()1 (1)1i aiaaiRa ，故填：1 5.【2016 高考山东理数】若复数z满足2 32i,zz 其中 i 为虚数单位，则z=（ ） （A）1+2i（B）12i（C）12i （D）12i 【答案】B 【解析】设biaz，则ibiazz2332，故2, 1ba，则iz21，选 B. 6.【2016 高考天津理数】已知, a bR，i是虚数单位，若(1)(1)ibia，则 a b 的值为_. 【答案】2 【解析】由(1 i)(1i)1(1)ibbba ，可得 1 10 ba b ，所以 2 1 a b ，2 a b ，故答案为 2 7.【2016 高考江苏卷】复数(12i)(3i),z 其中 i 为虚数单位，则z的实部是_. 【答案】5 【解析】(12 )(3)55ziii，故z的实部是 5 1(2015新课标全国，2)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a( ) A1 B0 C1 D2 解析 因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得 4a0 且a244，解得 a0，故选 B. 答案 B 2(2015广东，2)若复数zi(32i)(i 是虚数单位)，则z( ) A32i B32i C23i D23i 解析 因为zi(32i)23i，所以z23i，故选 D. 答案 D 11 3(2015四川，2)设 i 是虚数单位，则复数 i3 ( ) 2 i Ai B3i Ci D3i 解析 i3 ii2ii.选 C. 2 i 2i i2 答案 C 4(2015山东，2)若复数z满足i，其中 i 为虚数单位，则z( ) z 1i A1i B1i C1i D1i 解析 i，zi(1i)ii21i，z1i. z 1i 答案 A 5(2015新课标全国，1)设复数z满足i，则|z|( ) 1z 1z A1 B. C. D2 23 解析 由i，得 1zizi，zi，|z|i|1. 1z 1z 1i 1i 答案 A 6.【2015 高考福建，理 9】已知 1 ,ABAC ABACt t ，若P 点是ABC 所在平面内一点， 且 4ABAC AP ABAC ，则PB PC 的最大值等于（ ） A13 B15 C19 D21 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所 示，则 1 ( ,0)B t ，(0, )Ct，1AP （，0)+4(0, 1)=(1, 4)，即 1P （，4)，所以 1 1PB t =（，-4) ，1PC =（，t -4) ，因此 PB PC 1 1416t t 1 17(4 ) t t ，因为 11 4244tt tt ， 所以PB PC 的最大值等于13，当14t t ，即 1 2 t 时取等号 7.【2015 高考湖北，理 11】已知向量OAAB ，| 3OA ，则OA OB . x y B C A P 12 【答案】9 【解析】因为OAAB ，| 3OA ， 所以OA OB 93|)( 222 OAOBOAOAABOAOA. 8.【2015 高考山东，理 4】已知菱形ABCD的边长为a ，60ABC ,则BD CD （ ） （A） 2 3 2 a （B） 2 3 4 a （C） 2 3 4 a （D） 2 3 2 a 【答案】D 【解析】因为 BD CDBD BABABCBA 2 222 3 cos60