发稿-李树臣-展现过程是进行四基教学的根本途径.doc

展现过程是加强“四基”数学的根本途径李树臣（山东省沂南县教育局）摘要：重视“双基”的数学教学已经成为我国基础教育的优势。2011年版的义务教育数学课程标准把“双基”修订为“四基”。我们在本文首先详尽的诠释义务教育数学课程标准中关于课程目标的两类行为动词，然后指出实施过程教学是实现“四基”的根据途径，并就如何展现过程的问题结合具体的案例进行分析。关键词：课程标准；四基；行为动词；展现过程；根本途径近几十年来，强调基础知识和基本技能的“双基”教学已经成为我国中小学教育的特色而蜚声海内外。“双基”教育对于形成学生坚实的知识基础和基本的工作能力是非常必要的，但在知识经济时代仅有“双基”已经不足以让我国的基础教育继续领先于世界，更不能满足我国经济与社会发展的新要求。基于此，义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称课程标准）把以往的“两基”修订为“四基”，明确提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。我们在本文首先阐释课程标准中描述课程目标的有关动词，然后就“四基”教学的问题进行深入探讨。一、把握有关动词的基本含义课程标准提出了两类行为动词：一类是描述结果目标的行为动词，刻画的是基础知识与基本技能的深广度，包括“了解”、“理解”、“掌握”、“运用”等；另一类是描述过程目标的行为动词，刻画的是数学学习过程的不同水平，包括“经历”、“体验”、“探索”等。教师只有真正把握这些动词的基本含义，才能有效的进行四基教学。（1）了解（知道、模仿、认识、体会、说出、识别、学会等）。所谓了解，是指能从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。可见，了解就是对知识有了感性的、初步的认识。例如，“理解有理数的意义”、“认识三角形”，“了解不同的统计图的特征”；“识别同位角、内错角、同旁内角”等。对“了解”的教学要求有两个方面：能从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；能根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。例如，“了解无理数和实数的概念”，是指能叙述无理数与实数的概念，并能从给定的数集中，辨认出无理数与实数。（2）理解（会、独立操作、描述、解释、初步运用等）。所谓理解，是指对数学概念和原理达到了理性的认识。能描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。对于“理解”的教学要求，在“了解”的基础上，又增加了两个要求：知道该知识的来龙去脉，能准确地阐述该知识与有关概念或原理之间的区别和联系；知道该知识的用途。例如，“会用勾股定理的逆定理判定直角三角形”，是指不仅能叙述勾股定理的逆定理，而且知道勾股定理的逆定理的由来和逻辑导出过程，明确它与勾股定理的关系，并明确用它判定直角三角形的过程。一般来说，学生学习数学知识不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。（3）掌握（能、应用、解决问题等）。所谓掌握，是指在理解的基础上，能把对象用于新的情境，这时该知识已经形成了技能。对于“掌握”的教学要求，在“理解”的基础上又增加了两个要求：通过应用该知识的练习，达到了熟练的程度，具有了自动化的行为方式，即形成了相应的技能；能把该知识应用于新的情境解决问题。例如，“掌握一元二次方程的解法”，就不仅要了解有关的概念、掌握解一元二次方程的各种方法和步骤，而且遇到各种一元二次方程都能迅速准确地求解，形成了技能。（4）运用（证明等）。所谓运用，是指能综合应用有关的概念和原理，合理地选择与运用有关的方法解决问题。例如，“证明三角形的任意两边之和大于第三边；“证明等腰三角形的性质定理”等。对于“运用”的教学要求，在“掌握”的基础上又增加了两个要求：综合运用该知识和有关知识解决新问题；选择适当的方法或创造适当的方法解决新问题，即形成了运用该知识的能力。可见，以上四个层次之间是具有一定梯度的，最低层次是“了解”，它有两方面的教学要求，后一个层次都是在前一个层次的基础上，又增加了两个高一点的要求，到最高层次“运用”时便有8个教学要求，对于它们的意义，教师一定要明确，只有这样，才能做到教学“适中、适度”，恰到好处。下面的三个动词是为了刻画数学学习过程的不同水平的表述用语：（1）经历（感受、尝试等）。所谓经历，是指在特定的数学活动中，获得一些感性认识。例如，“经历估计方程解的过程”，就是要求学生在教师创设的特定问题情境中，积极思考，参与制定解决问题的方案，参与探索方程解的范围、用适当的方法逐步缩小解的范围、最后确定出方程的解或近似解的所有活动。在经历估计方程解的全过程中，使学生积累数学活动的经验，并学会观察、检验等估计方程解的方法，获得方程的有理解和无理解的感受和认识。（2）体验（体会）。所谓体验，是指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。例如，“体会抽样的必要性”，是指让学生亲自参与收集数据的活动，感受在实际问题的解决中，往往无法获得全部的数据或者不需要收集全部的数据，在这种情况下，必须采用抽样的方法收集数据，用样本去估计总体，从而体会抽样的必要性。（3）探索。所谓探索，是指独立或与他人合作，在参与特定的数学活动的过程中，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。例如，“探索平行线的判定方法”，“探索分式方程的解法，探究解分式方程可能产生增根的原因”等。二、参与活动过程是四基教学的根本途径课程标准在“课程的基本理念”中提出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。这实质上向我们提出了“四基”教学的“宏观策略”：要让学生参加活动，经历过程。对于“过程”，课程标准修改组组长史宁中教授进一步作了解释：“要培养一个人的创新能力，必须注重过程，启发思考，总结经验，教会反思。过程教育是指学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程。”1.基础知识和基本技能的教学中学数学的基础知识，是指数学科学的初步知识，也就是进一步学习各门近现代数学理论，学习物理、化学等相邻学科以及参加生产劳动所必须具备的最基本的数学知识。一般认为，课程标准中规定的课程内容，都属于数学基础知识的范畴。所谓数学基本技能，是在熟练运用数学基础知识的过程中形成的技能。例如，按照一定的步骤和程序熟练地完成作图是绘图技能，按照一定的步骤和程序去推理是推理技能，按照一定的步骤和程序处理数据是处理数据的技能等等。一般来说，中学数学中的基本技能，主要指外部操作技能，包括运算技能、处理数据的技能、推理技能和绘图技能等。基本技能是在一定量的训练中形成的，但训练必须适度，不能依赖过度的重复操作。应当根据技能的内容要求和学生的实际情况，把握技能形成的阶段性和训练的实效性，分层次地落实训练目标。基础知识和基本技能是“交织”在一起的，即学生对基础知识掌握的同时也自然形成了一定的技能；反过来，在训练学生用基础知识解决某些问题的技能时，学生又加深了对基础知识的理解。因此，我们在具体的教学中，不能说这是基础知识的教学，那是基本技能的教学。我们在基础知识和基本技能的教学时，应结合具体的内容努力创设能引导学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动的问题情境，让学生“经历三个过程，参与一个活动”：其一，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握有关数与代数的基本知识和基本技能；其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基本知识和基本技能；其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基本知识和基本技能。其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验。案例1 “锐角三角比”概念的教学.一个数学概念的教学就是一个完整的教学过程，这个过程大致分为如下四个阶段.（1）概括。数学概念的获得有两种基本形式：一种是从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，这种获得概念的方式称为概念形成；另一种是向学生展示定义，利用原有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式称为概念同化。可以说概念形成主要依赖的是对具体事物的抽象概括，而概念同化主要依赖的是学生对经验的概括和新旧知识的联系，所以无论是哪种方式都离不开“概括”。这一阶段的任务就是在对具体事例或原已掌握知识的分析过程中，抽象出事物的关键特征，摒弃非关键特征。（2）表述。对某类具有相同关键特征的事物进行命名，根据实际选择一种易于学生理解的方式揭示概念的本质，陈述定义。（3）识别在给出概念表述以后，教师应该区分学生对新知识是真正理解了，还是根据其无关特征回答有关概念的问题，为此，教师可以举出一些该概念外延之内或之外的例子，让学生根据定义进行判别练习，通过这样的练习可以帮助学生更加准确地把握概念的关键特征，排除无关特征，从而真正理解概念。（4）运用。对已经获得的概念在知觉水平和思维水平上进行运用。所谓在知觉水平上运用就是指当遇到这类事物的特征时，能立即把他看做是一类事物的具体例子；而在思维水平上进行运用则指新的概念或命题被类属于包摄水平较高的原有概念或命题中，或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来。对数学概念的学习不仅要注意知觉水平上的运用，还要注意在思维水平上的运用。这个过程告诉我们，给数学概念下定义不是概念教学的全部，不能在定义本身下太多的功夫，应注意概念教学的全过程，不可有头无尾，也不能对四个阶段平均用力，应根据具体概念的实际和学生的认知水平，恰当的分配教学时间，以最优的方式完成概念教学。对于一些抽象数学概念的教学，关注它的实际背景与形成过程，充分把概念形成的全过程展现给学生。这样可帮助学生理解概念的来龙去脉，在经历它形成的过程中加深对概念的理解，这种“过程化”的教学能使学生的记忆深刻、理解到位、应用灵活。锐角三角比概念就是初中数学的一个典型的概念，也是一个抽象的概念，还是学生感到难学的一个概念。这个概念是解直角三角形的基础，是重要的基础知识。【说明】课程标准在“课程目标”把这个概念放在了“图形与几何”部分，其教学要求是“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）”。而不是从变量和函数的角度去研究他们，所以我们在青岛版课标教材中把锐角A的正弦、余弦、正切定义为锐角A的三角比，而不是锐角三角函数，这一点与有些版本教科书的提法不一样，我们认为叫锐角三角比更能反映它们的实质，也能较好的体现课程标准的上述要求。为了让学生充分体验、经历锐角三角比概念的形成过程，我们可以按照下面的“程序”进行导学.（1）在计算过程中剖析概念的本质，明确其外延.对概念的深化认识必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析，剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。对于锐角三角比，可抓住正弦进行剖析。正弦涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识。正弦在本质上是一个“比”。为了突出这个比值，结合图1，今说明如下：正弦是一个比；这个比是A的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；这个比值随A的确定而确定，与点在A的终边上的位置无关（这一点可用相似三角形的原理来说明）；由于r，所以这个比值不会超过1。事实上，对于A的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应（这一点体现了函数概念的本质，所以有的版本教科书一直沿袭传统教材的提法，叫锐角三角函数）。让学生认识到这一点，他们对正弦的理解就比较深刻了。以上就是正弦概念的本质属性。图2AA的对边BC斜边A的邻边图1B1AC1B2C2另外，A的终边上的一点P（x，y）一旦确定，就涉及x、y、r这三个量，任取其中两个就可以确定一个比值，这样的比值有且只有六个。因此，基本锐角三角比有且只有六个，这便是锐角三角比的外延，在初中我们仅学习其中的三个。（2）详细地展示正弦概念的产生过程.锐角三角比概念是一个用发生定义方式定义的概念，应借助于图形，从几何的角度展开它的概括过程：课题的引入.从实际需要（一块长2米的平滑木板，一端放在平地上，一端抬高1米，计算比值。实质是已知角的大小，求对边与斜边的比值问题）出发，引出内容。个性考察.结合图1，引导学生探索比值与的关系。学生由相似三角形的知识可得到结论：=。从特殊到一般展开定量概括对于确定的锐角A，上面的比值与点B1在AB边上的位置无关，只与锐角A的大小无关。定义及其辨析.第一，A为RtABC的锐角，ABC的大小可以变化，但它们都是相似的，所以A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦，记为sinA，即sinA=（如图2）；第二，符号sinA的理解，A是一个角，它是一个常量，sinA是一个比值，是一个由A唯一确定的数，也是一个常量。类似地，给出A的余弦和正切，分别是cosA=，tanA=。从而给出锐角三角比的概念。这样一来，学生在上述系列问题的引导下，就经历了三角比的形成过程，并能主动地参入到数学概念的构建过程中，对其理解深刻，记忆永久。概念的初步应用.给定直角三角形的边，求锐角的正弦、余弦、正切的值。目的是让学生掌握用定义解题的基本规范和书写格式，巩固锐角三角比的定义，加深对这一概念的理解，形成运算技能。而且也为后面进一步学习特殊角的三角比、解直角三角形做好奠基准备。2.关于基本思想的教学课程标准指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与数学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。数学思想方法的过程性特征告诉我们，数学思想方法不只是那几个用来表述它的数学语言或概念，更要重的则是其形成与完善的过程，它起始于数学知识，起始于主体对客体的分析和认识。这就决定了对基本思想的教学应结合数学知识和数学活动进行。所以教师要在讲好数学知识的同时，要让学生清晰地了解知识的产生过程、知识间的相互联系以及整个知识体系的框架。这样学生不仅掌握了基本的数学知识，而且还能掌握渗透于知识之中的数学思想方法。学生只有掌握了一些具有普遍意义的数学思想方法，并以此把已经学过的一些数学知识凝结成一张优化的认知结构网，才能够有效地创造性地解决所遇到的问题。在处理数学思想方法上有两种基本的思路：第一，是通过纯数学知识的学习，不断的反思和升华，逐步使学生理解和掌握隐含在这些数学知识之中的数学思想方法。即数学知识数学思想方法第二，是通过解决实际问题使学生掌握所要求的教学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法。即实际问题。无论哪种方法，都有“过程”相伴。案例2 解方程组【说明】代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，教学中，教师要引导学生从本质上理解这两种方法的目的都是消元：即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”，鼓励学生在理解的基础上能用自己的语言概括出解二元一次方程组的主要步骤。在学生学会用这两种方法解二元一次方程组后，教师应引导学生比较它们的区别和联系，达到真正理解“消元”的目的，而不可过分的强调“代入”和“加减”这两种方法的具体技巧。上面的方程组是一个典型的二元一次方程组，它含有两个未知数x，y。教学中可设置如下的问题串，引导学生进行思考和解答：（1）让学生观察方程组的特点；（2）解这个方程组采用那种方法比较简单？（学生回答：通过观察x，y的系数发现采用加减消元法比较简单.）（3）怎样就能消去一个未知数，从而转化为只含一个未知数的方程？学生甲：可消去x，转化为关于y的一元一次方程；学生乙：可消去y，转化为关于x的一元一次方程。（4）怎样转化？（学生思考、议论、交流、解答.）学生在思考和解答上面问题的的过程中既能完成求解方程组解的任务，还能体会、掌握如何利用转化的思想方法解方程组，这一点远比求出方程组的解更重要。3.关于基本活动经验的形成关于数学活动经验的意义目前说法不一，课程标准研订小组组长、东北师范大学校长史宁中教授指出，“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。华东师范大学的张奠宙教授认为基本数学活动经验是指“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”比较一致的观点认为，数学活动经验是人们在数学活动过程中形成并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。课程标准指出“数学活动经验需要在做的过程和思考的过程中积淀，是在数学学习活动购车中逐步积累的”。这实质上向我们提出了引导学生形成数学活动经验的“宏观策略”：教学中一定要让学生进行参与活动过程，这些过程主要指数学概念的发生过程、数学命题的探索过程、解题思路的获得过程、问题的发现、提出和解决过程等。简言之，实施“过程教育”是学生获得数学活动经验的重要手段。案例3 “有理数的减法法则”的归纳过程.为了让学生发现加法交换律在有理数范围内仍然适用，可用下面的问题作为教学情境：北京市某天的最高气温为+40C，最低气温为-30C，该天的最大温差是多少？小亮认为此题可直接用加法求解：+40C比00C高40C，00C比-30C高30C，因此，（+4）+（+3）=+7. 所以该天的最大温差为70C。小莹先根据减法的意义，列出算式（+4）-（-3），又观察温度计发现：+40C比-30C高70C（图3）。因此（+4）-（-3）=+7. 也可以求出该天的最大温差为70C。为引导学生进行思考，提出下面的问题让学生进行讨论与交流.（1）观察算式与，你有什么发现？（2）让学生观察、比较解答问题（1）时所得到的等式（+4）-（-3）=（+4）+（+3）两边的运算及参与运算的有理数，你有什么发现？与同学交流。（3）仿照上面的计算让学生计算（-5）-（+2）。【说明】学生在上述三个问题的启发下，通过观察、思考