八年级第二学期数学四边形--正方形与梯形.doc

正方形1由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形2、正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质可以将正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3对于怎样判定一个四边形是正方形，只要能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定4、正方形的性质和判定是平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合。例1已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形 例2已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例3已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形梯形1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：类别定义性质判定面积公式梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形中位线平行于两底且等于两底和的一半根据定义判定两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积等腰梯形两腰相等的梯形1. 两腰相等；2. 同一底上的两角相等；3. 两条对角线相等4. 等腰梯形是轴对称图形1. 根据定义判定；2. 同底两角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性质根据定义判定2、解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5） 图1 图2 图3 图4 图5综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决。3. 重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。 例1、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，D90，CABABC， BEAC于E求证：BECD 例2、证明：对角线相等的梯形是等腰梯形 例3、已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长。例4、已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，求另一条对角线的长。例5、已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE例6、如图，在梯形中，、为、的中点。求证：。 例7、已知梯形ABCD中，ADBC，ABC的平分线过CD的中点E求证：ADBC=AB例8、如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，求证： 例9、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：例10、如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 例11、如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，O是对角线AC、BD的交点，AOB=60，又E、F、G分别是DO、AO、BC的中点。求证：EFG是等边三角形。 例12、已知如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，AD=90，BCABCD，P为AD的中点，求证：CPPB。正方形答案1、证明： 四边形ABCD是正方形， AC=BD， ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形，并且 ABO BCOCDODAO2、分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF3、分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明：PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90PQNM，四边形PQMN是矩形 四边形ABCD是正方形BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）1+2=90又3+2=90， 1=3ABMDANAM=DN 同理 AN=DPAM+AN=DN+DP即 MN=PN四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）梯形答案1、分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DFAB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出DFC=BAE，因此RtABERtFDC（AAS），故可得出BE=CD证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明ABEFDC即可 2、分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形在ABC和DCB中，已有两边对应相等，要能证1=2，就可通过证ABC DCB得到AB=DC证明：过点D作DEAC，交BC的延长线于点E，又 ADBC， 四边形ACED为平行四边形， DE=AC AC=BD ， DE=BD 1=E 2=E ， 1=2 又 AC=DB，BC=CB， ABCDCB AB=CD 梯形ABCD是等腰梯形3、思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，. 求：AB的长.解析：过点A作交BC于E，四边形ABCD是等腰梯形， ADBC 又，四边形AECD是平行四边形. 是等边三角形. 又， 4、梯形ABCD中，ADBC，BDBC设AD=x，BC=y，DB=z， 由题得：x+y+z=16， ，（熟记梯形面积公式） 解得x+y=8，z=8， 过D作DEAC交BC的延长线于E 四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） DE=AC，AD=CE（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在RtDBE中，DBE=90，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8， 根据勾股定理得， AC=DE， 5分析：这是一个直角梯形，通过作CFAB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的证明：如图，连结AC，过C作CFAB于F在CFB和AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）CFBAEB（AAS）CF=AED=90，CFAB且ABCD，AFCD是矩形AD=CF，AD=AE在RtADC和RtAEC中，RtADCRtAEC（HL）CD=CE 6、如图，延长，相交于点，连结，. 、为、的中点， ， 、三点共线 7、证明：过E作EFBC交AB于F，则EFBCAD，E是CD的中点 EF为梯形ABCD的中位线,2=3ADBC=2EF，AF=FB 1=2， 1=3，则BF=EFBF=EF=AF 2EF=BF+AF=ABADBC=2EF ADBC=AB8、证明：过E作MNAB交BC于N，交 AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形ABE与ABNM同底同高，1=C，M=2，DE=CE，EMDENC SABNM=S梯形ABCD 9、解析：四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，在和中，又， 10、证明：