电磁场与电磁波02矢量场论1正交坐标系.ppt

School of Electronics and Information Engineering 电磁场与电磁波 Electromagnetic Fields and Waves 第一章 矢量场论1 谢泽明 华南理工大学电子与信息学院 TEL:Email: 矢量代数和三种常用的坐标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 内容 v矢量代数 v直角坐标系 v圆柱坐标系 v球坐标系 v三种坐标变量的关系 v三种坐标单位矢量之间的关系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v数学是使人类思维走向更高维的桥梁。 v数学是描述世界的最简洁语言。 v简洁的语言是深奥理论的源泉。 v本课程所讨论的矢量是指3维或2维矢量。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 矢量代数 v人类对数的认识过程 标量：数字、代数、函数。 矢量：2个或3个标量的有序组合。 N维矢量：n个标量的有序组合。 矩阵：m个n维矢量的有序组合。 v人的五官感知的世界是三维的，但人的思 维是n维。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v物理表述：矢量是指既有大小又有方向的量 。 v几何描述：有向线段，即箭头表示方向，长 度表示大小。 v数学表述： 单位矢量表示法： 坐标表示法： 矩阵表示法： 矢量表示 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 矢量运算线性运算(加减法) v加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边 形规则。 加法的几何表示： 加法的坐标表示： School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 满足交换律： 满足结合律： 数乘： School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v减法：换成加法运算 逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆 矢量。 推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其 矢量和必为零。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 矢量运算点乘 v点积或标量积 v两矢量点积含义一矢量在另一矢量方向上的投 影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。 v如果 为单位矢量，则 表示矢量 在 方向的投影。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v运算规律 v如果 与 正交，则 v在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交 的，即 两矢量点积为： School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 矢量运算叉乘 v叉积或矢量积 v 大小为这两个矢量构成的平行四边形的面 积，方向与这两个矢量垂直，且 、 与 符合右手螺旋规则。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v如果 与 平行，则 v运算规律：不服从分配律和结合律 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 矢量运算例题 例2-1 证明： 证：应用矢量恒等式 有 得证。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 三种常用的坐标系 n为了描述物理量在空间的位置与分布，必须 引入坐标系 n电磁分析中常用有坐标系有： 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 n根据研究的物体和空间的特点选用不同的坐 标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 直角坐标系 v三个坐标变量是x，y，z vx=常数、y=常数、z=常 数的三个曲面（坐标面）为 平面正交，为正交坐标系。 v两个坐标面的交线（坐标 曲线）为直线。 v坐标曲线两两正交（正交 坐标系） v坐标单位矢量（坐标曲线 的切线方向单位矢量）为 ， 指向对应坐标 增加的方向。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v 直角坐标系的坐标单位矢量是常矢量，其 方向不随点M的位置变化而变化。 v 线元（长度元） v 矢量线元：带方向的线段dl，大小为长度 ，方向为线的方向。 vdl= ax dx+ay dy+ az dz v 面元 v 矢量面元：带方向的小面积dSdS=a a n n dS，大 小为面积，方向为面的法线方向。 v 体元 dl School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v 圆柱坐标系的三个坐标变量r, , z v r=常数、 =常数、z=常数的三个曲面正 交，为正交坐标系 v 坐标曲线为直线和圆 v 圆柱坐标单位矢量为ar, a, az v 在柱坐标系中，az是常矢量， ar, a都是变 矢量，其方向随点M的位置变化而变化。 圆柱坐标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v 线元（长度元） v 面元 v 体元 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 球坐标系 v三个坐标变量是r， vr=常数、 =常数、 =常数的 三个曲面正交，为正交坐标系 v球坐标单位矢量为ar, a, a v坐标单位矢量与位置有关 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v线元（长度元） v面元 v体元 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 三种坐标系之间的关系 坐标变量之间的关系 v直角坐标系与柱坐标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v直角坐标系与球坐标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v柱坐标系与球坐标系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 三种坐标系的关系 坐标单位矢量之间的关系 v直角坐标系与柱坐标系的坐标单位矢量之间关 系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v柱坐标系与球坐标系的坐标单位矢量之间关系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology v球坐标系与直角坐标系的坐标单位矢量之间关 系 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 【例2-1】矢量函数 在柱坐标系中为 求A在直角坐标系中的表达式。 解：根据 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 得 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 对于不同的 坐标面， ，因此 是 坐标变量 的函数。根据 是常矢量，在对 的求导时可视为常 数。 【例2-2】求柱坐标系中单位矢量 对坐 标变量 的偏导数 解：在柱坐标系中， 是常矢量，则 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 则 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 【例2-3】在柱坐标系中，已知 和 分别是定义在点 和 上的两个矢量，求点在 的矢量C，与其与A和B的关系为C=A+B。 解：因为点P和点Q不在同一 平面上，所以 也不在同一 平面上，故不能直接求和，需要变 换到直角坐标系中运算。 根据 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 对于P点 则A在直角坐标系中的表达式为 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 同理 则 又在点S处，有 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 故在柱坐标系中， School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 一般正交曲线坐标系 【曲线坐标的概念】 v曲线坐标：如果三维空间中 的点与三个有序数 q1、q2、q3 一一对应，则称 q1、q2、q3 为三维空间的坐标。 显然, q1、q2、q3 是空 间点的单值函数。 v坐标曲面：由q1= c1 、q2 = c2 、q3 = c3 (c1 、c2 、c3 均为常 数) 构成的三族等值曲面，称 为坐标曲面。 School of Electronics and Information Engineering South China University of TechnologySouth China University of Technology 由q2 = c2 、q3 = c3 相交而成的坐标曲线 上，只有q1 在变化，称之为坐标曲线 q1。 由q1= c1 、q3 = c3 相交而成的坐标曲线 ，称之为坐标曲线q2。 由q1= c1 、q2 = c2 相交而成的坐标曲线 ，称之为坐标曲线q3。 v 坐标曲线的单位矢量：坐标曲线的 切向单位矢