2016_2017学年高中数学1.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修.docx

13.3导数的实际应用1了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用(重点)2能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)(难点、易混点)基础初探教材整理导数在实际生活中的应用阅读教材P30P33“练习”以上部分，完成下列问题1最优化问题生活中经常遇到求_、_、_等问题，这些问题通常称为最优化问题2用导数解决最优化问题的基本思路【答案】1.利润最大用料最省效率最高2.函数导数1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 mB8 mC4 mD2 m【解析】设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)【答案】C2某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大【解析】利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，这时利润达到最大【答案】115质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒，如图139，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)图139(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【精彩点拨】弄清题意，根据“侧面积4底面边长高”和“体积底面边长的平方高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值【自主解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.1解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较再练一题1将一张26 m 的矩形钢板按如图1310所示划线，要求至全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以为底，为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.图1310(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大【解】(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(22x) m，长为(3x) m.故水箱的容积为y2x38x26x(0x1)(2)由y6x216x60，解得x(舍去)或x.因为y2x38x26x(0x1)在内单调递增，在内单调递减，所以当x的值为时，水箱的容积最大用料最省、成本(费用)最低问题位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1311所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短图1311【精彩点拨】可设CDx km，则CE(3x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数【自主解答】设CDx km，则CE(3x)km.则所需电线总长lACBC(0x3)，从而l.令l0，即0，解得x1.2或x6(舍去)因为在0,3上使l0的点只有x1.2，所以根据实际意义，知x1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短1用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值再练一题2甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值【解】(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值Q(80)(元)探究共研型利润最大、效率最高问题探究在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？【提示】根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【精彩点拨】(1)根据x5时，y11求a的值(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值【自主解答】(1)因为x5时，y11，所以1011，故a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数再练一题3某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】每月生产x吨时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)，由f(x)x224 0000，解得x200或x200(舍去)因为f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元构建体系1(2016益阳高二检测)某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V(x)0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短【答案】A2将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对【解析】设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小【答案】B3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为() 【导学号：05410026】A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对【解析】设矩形的宽为x，则长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0x0；当RxR时，l0，所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.【答案】B4某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300【解析】由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大【答案】D5用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图1312)，当容器的体积最大时，该容器的高为()图1312A8 cmB9 cmC10 cmD12 cm【解析】设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，因为V(x)12x2552x4 320，由12x2552x4 3200，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，V(x)0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米【答案】8007已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为_【解析】由题意，设矩形边长AD2x，则AB4x2，矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2.令S0，解得x1 ，x2 (舍去)当0x0；当 x2时，S0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小【答案】20三、解答题9如图1313，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1313【解】 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(82x) cm，宽为(52x) cm，V(82x)(52x)x4x326x240x，V12x252x40，令V0，得x1或x(舍去)，V极大V(1)18，在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大10(2016银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x千册(0x0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元【答案】D2要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高应为() 【导学号：05410027】A. cm B. mC5 m D. m【解析】如图，设圆锥底面半径为r，高为h，则h2r2202.所以r，所以圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)，所以V(4003h2)，令V0，得h或h(舍去)当0h0；当h时，V0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x时，f(x)取最大值.【答案】4(2016广州高二检测)如图1315所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海