2016_2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修.docx

2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)基础初探教材整理直接证明阅读教材P82P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)证明不等式“”最合适的方法是分析法.()(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.()【答案】(1)(2)(3)(4)2.命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”应用了_(填“综合法”或“分析法”).【解析】从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】综合法3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为_. 【导学号：01580044】【解析】要证A为钝角，只需证cos A0即可，也就是b2c2a2.【答案】b2c2sin Asin B，则ABC的形状一定是_.(2)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|mn|_.(3)下面的四个不等式：a2b23ab(ab)；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有_.【自主解答】(1)cos Acos Bsin Asin B，cos Acos Bsin Asin B0，cos(AB)0，即cos(C)0，cos C0，又0C，C0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.再练一题2.已知a0，1，求证：. 【导学号：01580045】【证明】由已知1及a0可知0b，只需证1，只需证1abab1，只需证abab0，即1，即1，这是已知条件，所以原不等式得证.探究共研型综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立.(ab)1(bc)13(abc)1成立.法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.再练一题3.设x1，y1，证明：xyxy.【证明】因为x1，y1，所以要证明xyxy，只需证明xy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1).因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而可得不等式xyxy成立.1.已知x0，y0，且1，则xy的最大值为_.【解析】12.xy3，当且仅当x，y2时等号成立.【答案】32.如果ab，则实数a，b应满足的条件是_.【解析】要使ab，只需使a0，b0，(a)2(b)2，即ab0.【答案】ab03.将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_.由于_显然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)204.设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_. 【导学号：01580046】【解析】因为abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.当且仅当abc时等号成立.【答案】9