2018_2019高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算学案苏教版.docx

第1课时平面向量的坐标表示及坐标运算学习目标1.掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?答案a2i2j.思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？答案对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关梳理(1)平面向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)在平面直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0)(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连结，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点二平面向量的坐标运算思考设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i，j表示？答案ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘a(x1，y1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1相等向量的坐标相等()2在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x1x2，y1y2)()提示(x2x1，y2y1)3与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i(1，0)，j(0，1)()类型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标解(1)如图，作AMx轴于点M，则OMOAcos4542，AMOAsin4542.A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).B的坐标为.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos60，2sin60)，C(1，)，D，(2，0)，(1，)，(1，)，.类型二平面向量的坐标运算例2已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足(R)(1)当为何值时，点P在函数yx的图象上？(2)若点P在第三象限，求实数的取值范围解设P(x1，y1)，则(x12，y13)因为(3，1)，(5，7)，所以(3，1)(5，7)(35，17)，所以所以所以点P的坐标是(55，47)(1)令5547，得.所以当时，点P在函数yx的图象上(2)当点P在第三象限时，有成立，解得1.实数的取值范围是(，1)反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练2已知a(1，2)，b(2，1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7)(2)a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1)(3)ab(1，2)(2，1).类型三平面向量坐标运算的应用例3已知A(2，4)，B(4，6)，若，则的坐标为_答案反思与感悟坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练3已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.1设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b_.答案(7，3)2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是_答案解析(8，1)，.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为_答案解析设D点坐标为(x，y)，则(4，3)，(x，y2)，由2，得D.4已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量_.答案(7，4)解析(3，1)，(4，3)，(4，3)(3，1)(7，4)5如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4)cxayb，解得因此xy.1向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(xBxA，yByA)3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积一、填空题1已知向量a(1，2)，b(1，0)，那么向量3ba的坐标是_答案(4，2)解析3ba3(1，0)(1，2)(3，0)(1，2)(31，02)(4，2)2已知ab(1，2)，ab(4，10)，则a的坐标为_答案(2，2)3已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(3，4)，且c1a2b，则1，2的值分别为_答案1，2解析由解得4在ABCD中，已知(3，7)，(2，3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是_答案解析()(2，3)(3，7).5如果将绕原点O逆时针方向旋转120得到，则的坐标是_答案解析因为所在直线的倾斜角为30，绕原点O逆时针方向旋转120得到所在直线的倾斜角为150，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.6已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c_.答案(23，12)解析a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，且3a2bc0，c2b3a2(4，3)3(5，2)(815，66)(23，12)7已知e1(1，2)，e2(2，3)，a(1，2)，则以e1，e2为基底，将a分解成1e12e2(1，2R)的形式为_答案ae1e2解析设a1e12e2(1，2R)，则(1，2)1(1，2)2(2，3)(122，2132)，由解得所以ae1e2.8已知平面上三点A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，则的坐标是_答案(3，6)9已知点A(2，1)，B(2，3)且，则点C的坐标为_答案(0，2)10已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_答案(3，3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4)又(2，6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3)11已知O是坐标原点，点A在第二象限，|6，xOA150，向量的坐标为_答案(3，3)二、解答题12已知点A(3，4)与B(1，2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标解设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2.即(x3，y4)2(1x，2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB的延长线上时，2.(x3，y4)2(1x，2y)，解得综上所述，点P的坐标为或(5，8)13已知a(2，1)，b(1，3)，c(1，2)，求p2a3bc，并用基底a，b表示p.解p2a3bc2(2，1)3(1，3)(1，2)(4，2)(3，9)(1，2)(2，13)设pxayb，则有解得pab.三、探究与拓展14已知A(3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_答案1解析由题意知(3，0)，(0，)