2016_2017学年高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修.docx

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.(难点)基础初探教材整理1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.向量内积的坐标运算：已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20.已知a(1，1)，b(2,3)，则ab()A.5 B.4 C.2 D.1【解析】ab(1，1)(2,3)12(1)31.【答案】D教材整理2向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112P113内容，完成下列问题.1.向量的长度：已知a(a1，a2)，则|a|.2.两点间的距离：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.3.两向量的夹角：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则cosa，b.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0度.()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.()【解析】(1).因为当x1y2x2y10时，向量a，b的夹角也可能为180.(2).由向量数量积定义可知正确.(3).因为两向量的夹角有可能为180.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型平面向量数量积的坐标运算(1)(2016安溪高一检测)已知向量a(1,2)，b(2，x)，且ab1，则x的值等于()A.B.C. D.(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则ab_，a(ab)_.(3)已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.【精彩点拨】根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】(1)因为a(1,2)，b(2，x)，所以ab(1,2)(2，x)122x1，解得x.(2)ab(1,2)(3,2)(1)3221，a(ab)(1,2)(1,2)(3,2)(1,2)(4,0)4.(3)设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以c.【答案】(1)D(2)14(3)1.进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.再练一题1.设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则(a2b)c()A.(15,12) B.0C.3 D.11【解析】依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.【答案】C向量的模的问题(1)(2016莱州期末)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A.4 B.5C.3 D.4(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.【精彩点拨】(1)两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10.(2)已知a(x，y)，则|a|.【自主解答】(1)由y40知y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4.故选D.(2)由题意知，ab(2,4)，ab(4,0)，因此|ab|2，|ab|4.【答案】(1)D(2)24向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则|a|.再练一题2.已知向量a(2x3,2x)，b(3x,2x)(xR)，则|ab|的取值范围为_.【解析】ab(x，x2)，|ab|，|ab|，).【答案】，)探究共研型向量的夹角与垂直问题探究1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？【提示】cos .探究2已知a(1，1)，b(，1)，当a与b的夹角为钝角时，的取值范围是什么？【提示】a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.a，b的夹角为钝角，即0且a，b不同向.由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是，选B.【答案】B(2)amb(32m,4m)，ab(1,5)，因为(amb)(ab)，所以(amb)(ab)0，即(32m)1(4m)50，所以m.1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cos 求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos 求的值.2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决.再练一题3.已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.【导学号：72010066】【解】设a与b的夹角为，则ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0且a与b不反向.由ab0得120，故0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向.由ab0，得，由a与b同向得2，所以的取值范围为(2，).1.已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A.1B.C. D.1【解析】由a(1，1)，b(2，x)可得ab2x1，故x1.【答案】D2.已知a(2,1)，b(x，2)，且ab，则x的值为()A.1 B.0C.1 D.2【解析】由题意，ab(2,1)(x，2)2x20，解得x1.故选A.【答案】A3.(2016邢台期末)在平行四边形ABCD中，(1,0)，(2,2)，则等于()A.4 B.2C.2 D.4【解析】()(2)2382324.故选D.【答案】D4.已知a(3，4)，则|a|_.【解析】因为a(3，4)，所以|a|5.【答案】55.已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(ab)(ab).【导学号：72010067】【解】(1)因为a(3，1)，b(1，2)，所以ab31(1)(2)325.(2)ab(3，1)(1，2)(4，3)，所以(ab)2|ab|242(3)225.(3)ab(3，1)(1，2)(4，3)，ab(3，1)(1，2)(2,1)，(ab)(ab)(4，3)(2,1)835.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016开封质检)已知向量a(3,1)，b(x，2)，c(0,2)，若a(bc)，则实数x的值为()A.B.C. D.【解析】bc(x，4)，由a(bc)知3x40，x.故选A.【答案】A2.(2016马鞍山质检)已知向量a(1，2)，b(x,4)，且ab，则|ab|()A.5 B.3C.2 D.2【解析】ab，42x0，x2，ab(1，2)(2,4)(3，6)，|ab|3.故选B.【答案】B3.已知向量a(1，)，b(2,2)，则a与b的夹角是()A. B.C. D.【解析】设a与b的夹角为，则cos ，解得.故选C.【答案】C4.若a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.【解析】a在b方向上的投影为|a|cos.【答案】A5.已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则DOE的余弦值为()A. B.C. D.【解析】以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则D，E，于是cosDOE.【答案】D二、填空题6.已知O(2,1)，O(0,2)，且AO，BA，则点C的坐标是_.【解析】设C(x，y)，则A(x2，y1)，B(x，y2)，A(2,1).由AO，BA，得解得点C的坐标为(2,6).【答案】(2,6)7.(2016德州高一检测)若向量a(2,2)与b(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为_.【解析】若a与b夹角为180，则有ba(0)即解得y1且，所以ba(0)时y1；若a与b夹角时，则只要ab0且ba(0).当ab0有22y0解得y1.由得y1或1y1.【答案】(，1)(1,1)三、解答题8.已知(6,1)，(4，k)，(2,1).(1)若A，C，D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值.【导学号：72010068】【解】(1)因为(10，k1)，由题意知A，C，D三点共线，所以，所以1012(k1)0，即k4.(2)因为(2,1)，设向量与的夹角为，则cos .9.已知a(1,1)，b(0，2)，当k为何值时，(1)kab与ab共线；(2)kab与ab的夹角为120.【解】a(1,1)，b(0，2)，kabk(1,1)(0，2)(k，k2)，ab(1,1)(0，2)(1，1).(1)kab与ab共线，k2(k)0，k1.即当k1时，kab与ab共线.(2)|kab|，|ab|，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，而kab与ab的夹角为120，cos 120，即，化简整理，得k22k20，解之得k1.即当k1时，kab与ab的夹角为120.能力提升1.已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.【解析】设c(x，y)，又因为a(1,2)，b(2，3)，所以ca(x1，y2)，又因为(ca)b，所以有(x1)(