河南城建学院建筑力学之《材料力学》.ppt

之 材料力学 篇 河南城建学院 谭龙 第二章 轴向拉伸和压缩 2-1 轴向拉伸和压缩的概念 2-2 内力截面法及轴力图 2-4 拉(压)杆的变形胡克定律 2-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 2-6 强度条件许用应力 2-3 应力拉(压)杆内的应力 2-1 轴向拉伸和压缩的概念 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。 屋架结构简图 桁架的示意图 受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆 （未考虑端部连接情况） 2-2 内力截面法及轴力图 材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。 . 内力 根据变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。 . 截面法轴力及轴力图 FN=F （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。 步骤： 横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂 直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm 的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指 向截面产生缩短变形为负。 轴力背离截面FN=+F 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。 轴力指向截面FN=-F 轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。 F (c) F (f) 例题2-1 试作此杆的轴力图。 等直杆的受力示意图 (a) 为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面11左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力) 解： 为方便取截面33右边为 分离体，假设轴力为拉力 。 FN2=50 kN(拉力) FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力) 轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 例题2-2：试作此杆的轴力图。 F F Fq FR 1 1 2 2 3 3 F F F FR F=2ql F F F l2ll 解： F q F F x1 F F x1 2 F F Fq 1 1 23 3 x F Fq=F/l l2ll F FN 图 F F F + - + 2-3 应力拉(压)杆内的应力 .应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布 内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般 而言，随所取A的大小而不同。 该截面上M点处分布内力的集度为 p，其方向一般 既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。 总应力 p 法向分量正应力s 某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度 切向分量切应力t 某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度 单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。 .拉(压)杆横截面上的应力 (1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等 时，可组成通过截面形心的合力轴力FN；横截面上各 点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。 为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。 3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截 面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。 例题2-3 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。 段柱横截面上的正应力 所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力 (压应力) (压应力) . 拉(压)杆斜截面上的应力 斜截面上的内力： 变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。 斜截面上的总应力： 推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力pa相等。 式中， 为拉(压)杆横截面上(a =0)的正应力。 斜截面上的正应力和切应力 正应力和切应力的正负规定： 思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应 力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离 体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面 上？ k k 2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律 拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)： 纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变 （反映变形程度） 纵向线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。 横向变形与杆轴垂直方向的变形 在基本情况下 横向线应变的正负规定：缩短时为正，伸长时为负。 引进比例常数E，且注意到F = FN，有 适用于拉(压)杆。 式中：E 称为弹性模量，由实验测定，单位为Pa； EA 杆的拉伸(压缩)刚度。 胡克定律 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料 的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力 胡克定律的另一表达形式： 单轴应力状态下的胡克定律 低碳钢(Q235)： 低碳钢(Q235)：n = 0.240.28。 亦即 横向变形因数(泊松比) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时， 某一方向的线应变e 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变e的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或 泊松比 2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变 形是什么关系？ 思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。 1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个 杆纵向变形的表达式。 FF FN 图 F + - + 位移： 变形： 3. 图(b)所示杆， 其各段的纵向总变形以 及整个杆的纵向总变形 与图(a)的变形有无不 同？各横截面及端面的 纵向位移与图(a)所示 杆的有无不同？何故？ (a) 2-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 . 材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样 圆截面试样：l = 10d 或 l = 5d(工作段长度称为标距)。 矩形截面试样： 或 。 试验设备 ： (1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。 压缩试样 圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能) 正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能) 实验装置（万能试验机） . 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图 纵坐标试样的 抗力F(通常称为荷载) 横坐标试样工 作段的伸长量 低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与F 成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。 (2) 阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧 增大，但抗力只在很小范围 内波动。 此阶段产生的变形是不 可恢复的所谓塑性变形；在 抛光的试样表面上可见大约 与轴线成45的滑移线( ，当=45时a 的绝对值最 大)。 (3) 阶段强化阶段 (4) 阶段颈缩阶段 试样上出现局部收缩，并导致 断裂。 低碳钢的应力应变曲线(s e曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵 坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原 长。 低碳钢 se曲线上的特征点： 比例极限sp 弹性极限se 屈服极限ss (屈服的低限) 强度极限sb(拉伸强度) Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa 低碳钢拉伸破坏低碳钢拉伸试件 低碳钢拉伸破坏断口 低碳钢的塑性指标： 伸长率 断面收缩率： A1断口处最小横截面面积。 Q235钢：y60% Q235钢： (通常d 5%的材料称为塑性材料) 2-6 强度条件安全因数许用应 力 . 拉(压)杆的强度条件 强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破 坏的条件： 其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材 料拉伸(压缩)时的许用应力。 . 材料的拉、压许用应力 塑性材料： 脆性材料：许用拉应力 其中，ns对应于屈服极限的安全因数 其中，nb对应于拉、压强度的安全因数 . 关于安全因数的考虑 (1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss， sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变 异，以及计算简图与实际结构的差异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事 故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。 安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下， . 强度计算的三种类型 (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强 度条件求杆件横截面面积或尺寸。 (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸 ，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可 荷载。FN,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。 (1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所 受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直 杆即为 例题2-4 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆 DI的直径d。已知：F =16 kN，s=120 MPa。 2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径 由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。 解:1. 由图中(b)所示分离体的平衡方程得 例题2-5 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根 80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字 钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求 许可荷载F。 解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，