2017届中考数学专题复习第7章圆第18讲圆的有关基本性质.docx

第18讲 圆的有关基本性质【基础知识归纳】归纳 1：弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等 ，所对的弦相等 ，推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 【方法点拨】正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等归纳 2：圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 一半 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是_直角_；90的圆周角所对的弦是 直径 推论3: 圆内接四边形的对角 互补 【方法点拨】在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧要掌握【注意问题归纳】圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”-圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件归纳 3：圆的切线性质：圆的切线垂直于 过切点的半径 .如图所示，如果CD切O于点A，那么OACD 判定：过 半径外端 且 垂直于这条半径 的直线是圆的切线如图所示，如果AB是O的直径,直线CD经过A点,且CDAB,那么CD是O的切线.【常考题型剖析】 题型一、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例1】（2016济宁）如图1，在O中，AOB=40，则ADC的度数是（） 图1 图2A. 40 B. 30 C. 20 D. 15【答案】C【解答】解：连接CO，如图：在O中，AOC=AOB，AOB=40，AOC=40，ADC=AOC=20，【例2】（2016河池）如图2，AB是O的直径，点C，D都在O上，ABC=50，则BDC的大小是 【答案】40【分析】根据ABC=50求出的度数为100，求出的度数为80，即可求出答案【解答】解：ABC=50，的度数为100，AB为直径，的度数为80，BDC=80=40，【举一反三】1. (2016娄底) 如图3，已知AB是O的直径，D=40，则CAB的度数为（） 图3 图4A. 20 B. 40 C. 50 D. 70【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出B及ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：D=40，B=D=40AB是O的直径，ACB=90，CAB=90-40=502. (2016内蒙古) 如图4，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB=40，则ABD与AOD分别等于（）A. 40，80B. 50，100C. 50，80D. 40，100【答案】B【分析】求出AEC=90，根据三角形内角和定理求出C=50，根据圆周角定理即可求出ABD，根据OB=OD得出ABD=ODB=50，根据三角形外角性质求出即可【解答】解：CDAB，AEC=90，CAB=40，C=50，ABD=C=50，OB=OD，ABD=ODB=50，AOD=ABD+ODB=100 题型二、圆周角定理及推论【例3】（2016重庆）如图1，OA，OB是O的半径，点C在O上，连接AC，BC，若AOB=120，则ACB= 度【答案】60【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案【解答】解：AOB=120，ACB=120=60， 图1 图2 图3【例4】（2016葫芦岛）如图2，A，B，C，D是O上的四个点，C=110，则BOD=度【答案】140【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题【解答】解：A，B，C，D是O上的四个点，C=110，四边形ABCD是圆内接四边形，C+A=180，A=70，BOD=2A，BOD=140【举一反三】3. (2016湘西州) 如图3，在O中，圆心角AOB=70，那么圆周角C=【答案】35【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解【解答】解：圆心角AOB=70，C=AOB=70=354. (2016来宾) 如图4，在O中，点A、B、C在O上，且ACB=110，则= 【答案】140【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出ADB的度数，再由圆周角定理求出AOB的度数即可【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，四边形ACBD内接与O，C=110，ADB=180C=180110=70，AOB=2ADB=270=140 图4 图55. (2016张家界) 如图5，AB是O的直径，BC是O的弦若OBC=60，则BAC的度数是（）A. 75 B. 60 C. 45 D. 30【答案】D【分析】根据AB是O的直径可得出ACB=90，再根据三角形内角和为180以及OBC=60，即可求出BAC的度数【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，又OBC=60，BAC=180-ACB-ABC=30 题型三、圆的切线【例5】（2016泉州）如图6，AB和O相切于点B，AOB=60，则A的大小为（） 图6 图7A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【答案】B【分析】由切线的性质得出ABO=90，由直角三角形的性质得出A=90-AOB，即可得出结果【解答】解：AB和O相切于点B，ABO=90，A=90-AOB=90-60=30；【举一反三】6. (2016株洲) 如图7，ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，A=75，B=45，则圆心角EOF= 度【答案】120【分析】首先根据A=75，B=45，求出C=60；然后根据ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，可得OEC=OFC=90，再根据四边形OEFC的内角和等于360，求出圆心角EOF的度数是多少即可【解答】解：A=75，B=45，C=180-75-45=105-45=60ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，OEC=OFC=90，四边形OECF的内角和等于360，EOF=360-（90+90+60）=360-240=1207. (2016梅州) 如下图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC=CD，ACD=120 （1）求证：CD是O的切线； （2）若O的半径为2，求图中阴影部分的面积 【分析】（1）连接OC只需证明OCD=90根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积【解答】（1）证明：连接OCAC=CD，ACD=120，A=D=30OA=OC，2=A=30OCD=180AD2=90即OCCD，CD是O的切线（2）解：A=30，1=2A=60=在RtOCD中，图中阴影部分的面积为：【巩固提升自我】1. (2016茂名) 如图1，A、B、C是O上的三点，B=75，则AOC的度数是（） 图1 图2 图3A. 150 B. 140 C. 130 D. 120【答案】A【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：A、B、C是O上的三点，B=75，AOC=2B=1502. (2014广东) 如图2，在O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O 到AB的距离为 【答案】3【分析】作OCAB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在RtAOC中利用勾股定理计算OC即可【解答】解：作OCAB于C，连结OA，如图，OCAB，AC=BC=AB=8=4，在RtAOC中，OA=5，OC=即圆心O到AB的距离为33. (2012广东) 如图3，A、B、C是O上的三个点，ABC=25，则AOC的度数是 【答案】50【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知圆周角的度数，即可求出所求圆心角的度数【解答】解：圆心角AOC与圆周角ABC都对AOC=2ABC，又ABC=25，则AOC=504. (2014广东) 如下图,O是RtABC的外接圆,ABC=90,弦BD=BA,AB=12, BC=5, BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：BCA=BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是O的切线.【分析】（1）根据BD=BA得出BDA=BAD，再由BCA=BDA即可得出结论；（2）判断BEDCBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度（3）连接OB，OD，证明ABODBO，推出OBDE，继而判断BEOB，可得出结论【解答】（1）证明：BD=BA，BDA=BAD，BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD（2）解：BDE=CAB（圆周角定理）且BED=CBA=90，BEDCBA，即，解得：DE=（3）证明：连结OB，OD，在ABO和DBO中，ABODBO（SSS），DBO=ABO，ABO=OAB=BDC，DBO=BDC，OBED，BEED，EBBO，BE是O的切线5. (2016广东改) 如下图，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC=30，过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.（1）求证：ACFDAE； （2）若，求DE的长； 【分析】（1）根据圆周角定理得到BAC=90，根据三角形的内角和得到ACB=60根据切线的性质得到OAF=90，DBC=90，于是得到D=AFC=30由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据SAOC=，得到SACF=，通过ACFDAE，求得SDAE=，过A作AHDE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到OFG=（180EOF）=30，于是得到AFO=GFO，过O作OGEF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论【解答】（1）证明：BC是O的直径，BAC=90，ABC=30，ACB=60OA=OC，