全国通用高考数学复习专题三数列第1讲等差数列等比数列的基本问题练习理.docx

专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题练习 理一、选择题1.设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析由已知得SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比q2，又Sm11，故a11，又ama1qm116，代入可求得m5.答案C2.(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.解析由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1).答案A3.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150 B.200C.150或200 D.400或50解析依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，则S40S3070150.答案A4.(2015浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d0，dS40 B.a1d0，dS40C.a1d0，dS40 D.a1d0，dS40解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又S44a1d，dS40，故选B.答案B5.(2016福州二模)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A.6 B.7 C.8 D.9解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9，故选D.答案D二、填空题6.(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.解析设等比数列an的公比为q，解得a1a2an，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值26，所以a1a2an的最大值为64.答案647.数列an的前n项和为Sn，已知a1，且对任意正整数m，n，都有amnaman，若Snt恒成立，则实数t的最小值为_.解析令m1，可得an1an，所以an是首项为，公比为的等比数列，所以Sn，故实数t的最小值为.答案8.(2013新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_.解析设数列an的首项和公差分别为a1，d，则则nSnnn2.设函数f(x)x2，则f(x)x2x，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以函数f(x)minf，但67，且f(6)48，f(7)49，因为4849，所以最小值为49.答案49三、解答题9.(2014新课标全国卷)已知数列an满足a11，an13an1，(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1，得an13.又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列.an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.10.数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线2xy20上.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，可得2an1Sn20.当n2时，2anSn120.，得2an12anan0，所以(n2).因为a11，2a2a12，所以a2.所以an是首项为1，公比为的等比数列.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，Sn2.若为等差数列，则S1，S22，S33成等差数列，则2S1S3，即21，解得2.又2时，Sn2n2n2，显然2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn成等差数列.11.(2016太原模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Snan1n2，nN*，a12.(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)的前n项和为Tn，证明：Tn6.证明(1)因为Snan1n2，当n2时，Sn1an(n1)2ann3，两式相减，得anan1an1，即an12an1.设cnan1，代入上式，得cn112(cn1)1，即cn12cn.又Snan1n2，则an1Snn2，故a2S1123.所以c1a111，c2a212，故c22c1.综上，对于正整数n，cn12cn都成立，即数列an1是等比数列，其首