江苏2018版高考数学复习第二章二次函数与幂函数教师用书理苏教版.docx

第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数教师用书 理 苏教版1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0，当时，恒有f(x)0.2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数.()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(4)函数是幂函数.()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.()1.(教材改编)若幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(9)_.答案27解析设f(x)x，则22，f(x).f(9)27.2.(教材改编)设1，1，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值和为_.答案4解析当1，3时，函数yx的定义域为R，且为奇函数；当1时，y的定义域是x|x0，xR；当时，y的定义域是x|x0.满足题意的a值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.答案3解析f(x)2(x)23，由题意2，m8，f(1)2128133.4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.答案1，2解析如图，由图象可知m的取值范围是1，2.5.(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上单调递减.答案y(0，)解析设f(x)xa，则2a，a，即幂函数的解析式为y，单调减区间为(0，).题型一求二次函数的解析式例1(1)(2016南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(2，0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式.解f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4，3)，3a3，a1，所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，a()，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是_.答案3，0解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件.当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0.引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知a0时，f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x.当01，即0a1时，f(x)ax22x的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上单调递减.f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0，1上单调递减，f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.答案解析2ax22x30在1，1上恒成立.当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是 .(2)(2016江苏徐州一中质检改编)若t2kt10在t1，1上恒成立，求实数k的取值范围.解求二次函数f(t)t2kt1在给定区间1，1上的最大值M，二次函数f(t)的图象的对称轴为直线t2k.当2k1，1，即k，时，Mf(1)或f(1)，由M0，得f(1)0且f(1)0，解得k，又k，故k；当2k1，即k时，函数f(t)在1，1上单调递增，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k，故k1，即k时，函数f(t)在1，1上单调递减，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k，故k.综上知，实数k的取值范围为，.思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_.答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，当21时，ymin1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)若，则实数m的取值范围是_.答案解析因为函数y的定义域为0，)且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，得1m2.综上所述，m的取值范围是m2.(2)已知函数f(x)xm3(mN*)是偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的函数解析式.解由f(3)f(5)，得3m35m3，所以()m30.解得m3.又因为mN*，所以m1或2；当m2时，f(x)xm3x为奇函数，所以m2舍去.当m1时，f(x)xm3x2为偶函数，所以m1，此时f(x)x2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(2016盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0ab1，则下列各式正确的是_.f(a)f(b)f()f()f()f()f(b)f(a)f(a)f(b)f()f()f()f(a)f()f(b)答案解析设幂函数为f(x)x，将(4，2)代入得，所以f(x)，该函数在(0，)上为增函数，又0ab1，即ab，所以f(a)f(b)f()0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；9分(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.12分综上可知，a的值为或3.14分1.(教材改编)幂函数f(x)x的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是_.答案0，)解析把点(2，4)代入函数解析式得42，所以2，故f(x)x2，所以函数的单调递增区间为0，).2.(教材改编)如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么f(2)，f(0)，f(2)大小关系为_.答案f(0)f(2)f(2)解析函数f(x)x2bxc对任意的实数x都有f(1x)f(x).可知函数f(x)图象的对称轴为x，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大.3.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是_.答案0，4解析由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.4.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的取值范围是_.答案，3解析二次函数图象的对称轴为x且f()，f(3)f(0)4，由图得m，3.5.若a()a2a解析若a0，则幂函数yxa在(0，)上是单调减函数，又0.2()a2a.6.已知函数y的定义域为R，值域为0，)，则实数a的取值集合为_.答案1解析由定义域为R，则x22xa0恒成立.又值域为0，)，则函数yx22xa的图象只能与x轴有1个交点，所以44a0，则a1，所以实数a的取值集合为1.7.(2016连云港模拟)已知幂函数f(x)，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_.答案(3，5)解析幂函数f(x)单调递减，定义域为(0，)，由f(a1)f(102a)，得解得3a1，即a2时，f(x)在1，)上单调递减，在(，)上单调递增，不合题意；当01，即0a2时，符合题意；当0，即a1)，则ab_.答案解析f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即函数f(x)在1，b上单调递增.f(x)minf(1)a1，f(x)maxf(b)b2bab，又b1，由解得a，b的值分别为，3.ab.11.(2016江苏赣榆高级中学质检)设函数f(x)x23xa.若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为_.答案(0，解析方法一由f(x)0，得ax23x(x)2.因为x(1，3)，所以(x)2(0，所以a(0，.方法二因为f(x)x23xa(x)2a，所以要使函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则需f()0且f(3)0，解得0a.12.(2016江苏淮阴中学期中)已知关于x的一元二次方程x22axa20的两个实数根是，且有123，则实数a的取值范围是_.答案(2，)解析设f(x)x22axa2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得即解得2a，所以实数a的取值范围为(2，).13.(2016江苏泰州中学质检)已知a，t为正实数，函数f(x)x22xa，且对任意的x0，t，都有f(x)a，a.若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为_.答案(0，1)2解析因为f(x)(x1)2a1，且f(0)f(2)a，当a1a，即a时，此时恒有a1，aa，a，故t(0，2，从而它的最大值为2；当a1a，即0a，此时t(0，1)且t22taa在0a上恒成立，即t1(不成立，舍去)或t1，由于0a，故t(0，1).综上，g(a)的值域为(0，1)2.14.已知幂函数f(x)(mZ)为偶函数，