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第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号比较法证明不等式1综合法证明不等式3分析法证明不等式2分析综合法证明不等式41.设ab0,求证:.证明:法一-=,因为ab0,所以a-b0,ab0,a2+b20,a+b0.所以-0,所以.法二因为ab0,所以a+b0, a-b0.所以=1+1.所以.2.设x1,y1,求证x+y+xy.证明:由于x1,y1,要证x+y+xy,只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2.因为y+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由条件x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0,b0,c0,求证:+.证明:要证+,只需证+1+1+1,只需证+,只需证(a+b+c) (+).因为(a+b+c) (+)= (b+c)+(a+c)+(a+b)
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