离散数学2014春学期集合论综合练习辅导.doc

离散数学2014春学期集合论综合练习辅导一、单项选择题单项选择题主要是第2次形考作业的部分题目。第2次作业由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分。在每次作业关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩。需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目。 1若集合A a，a，1，2，则下列表述正确的是( ) Aa，aA B1，2A CaA DA正确答案：C2若集合A=1，2，B=1，2，1，2，则下列表述正确的是( ) AAB，且AB BBA，且ABCAB，且AB DAB，且AB正确答案：A注：若请你判断是否存在两个集合A，B，使AB，且AB同时成立，怎么做？注意：上面两个题是重点，大家一定要掌握，还要会灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做例如，2011年1月份考试的试卷的第1题1若集合A a，1，则下列表述正确的是( ) A1A B1ACaA DA答案：A 3设集合A = 1, a ，则P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 正确答案：C注意： 若集合A有一个或有三个元素，那么P(A)怎么写呢？例如，2012年1月份考试的试卷的第6题6设集合Aa，那么集合A的幂集是 答案：,a 若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素当n=8或10时，A的幂集的元素有多少个？ （应该是256或1024个）例如，2012年1月份考试的试卷的第1题 1若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A10 B100 C1024 D1答案：C4集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ ） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的因为写出二元关系R的集合表达式为R = 2 , 8，8 , 2，3 , 7，7 , 3，4 , 6，6 , 4，5 , 5显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的正确答案：B要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质 5设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，则S是R的（ ）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对 由42页定义2.3.4知道，关系R的对称闭包s (R)是包含R并具有对称性的最小的关系，由此也可以判定S是R的对称闭包 正确答案：C 6设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) A8、2、8、2 B8、1、6、113624587 C6、2、6、2 D无、2、无、2集合A上的整除关系R的哈斯图如右图所示由教材第54页的定义2.5.11知道，集合B的无最大元和上界，最小元和下界都是2，因此，选项D正确 正确答案：D7设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（ ）不是从A到B的函数 AR1 BR2 CR3 DR1和R3由教材第55页的定义2.6.1知道，函数是单值性，也就是说，定义域A中任意一个a与值域B中唯一的b有关系，而R2中的a有两个值2，1与它有关系，所以而R2不是函数正确答案：B注意：函数R1，R3的定义域、值域是什么？两个函数R1，R3是否能复合？ 8设A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，则不同的函数个数为（ ） A2 B3 C6 D8 因为： f1 = a , 1，b , 1，c , 1，f2 = a , 1，b , 1，c , 2，f3 =a , 1，b , 2，c , 1，f4 = a , 2，b , 1，c , 1， f5 =a , 1，b , 2，c , 2，f6 = a , 2，b , 1，c , 2，f7 =a , 2，b , 2，c , 1，f8 =a , 2，b , 2，c , 2正确答案：D 下面的内容主要是第3次形考作业的部分题目。请注意：第3次作业要求学生用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，在规定的时间内完成并上交辅导教师批阅，同时还要在本次作业任务的界面下方点击“交卷”按钮，确保辅导教师能评分。二、填空题1设集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 因为AB=2, 3 ，所以从集合A，B中只能分别去2，3组成关系R应该填写：R = 2 , 2，2 , 3，3 , 2，3 , 3注意：如果将二元关系R改为或则R的有序对集合是什么呢？ 2设集合A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12， A到B的二元关系R那么R1 因为R，所以R1，应该填写：， 3设集合A=a, b, c, d，A上的二元关系R=, , , ，若在R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性 应该填写：, 注意：第3题我们不仅要熟练掌握，尤其是A和R的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？4设A=1, 2上的二元关系为R=|xA，yA, x+y =10，则R的自反闭包为 因为满足条件xA，yA, x+y =10的关系只有空关系，空关系的闭包是IA应该填写：IA注意：如果二元关系改为R=|xA，yA, x+y 10，则R的自反闭包是什么呢？ 5设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 等元素因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含, , 等元素应该填写：, , 注：如果给定二元关系R，你能否判断R是否是等价关系？6设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 应该填写：, ，, ooooabcdooogefho想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1若偏序集的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 解：错误 集合A的最大元不存在，a是极大元结论不成立因为a与g、h没有关系，由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义2.5.9知道，A的最大元应该大于等于A中其它各元素，而A的极大元应该大于等于A中的一些元素，可以与A中另一些元素无关系所以集合A的最大元不存在，a应该是极大元问：是否存在一个元素a，它既是偏序集的最大元，也是的最小元？ 2设集合A=1, 2, 3, 4，B=2, 4, 6, 8，判断下列关系f：AB是否构成函数，并说明理由(1) f =, , , ； (2) f =, , ；(3) f =, , , 解：(1) f不能构成函数因为A中的元素3在f中没有出现 (2) f不能构成函数 因为A中的元素4在f中没有出现 (3) f可以构成函数 因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件四、计算题1设集合A=1, 2, 1, 2，B=1, 2, 1, 2，试计算（1）A-B； （2）AB； （3）AB解：（1）A-B=1, 2, 1, 2- 1, 2, 1, 2=1, 2（2）AB =1, 2, 1, 21, 2, 1, 2=1, 2（3）A B =1, 2, 1, 21, 2, 1, 2=, , , , , , , , , , , 2, 1, 2 注：请计算（AB）B2设A=1，2，3，4，5，R=|xA，yA且x+y4，S=|xA，yA且x+y 0，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R) 解：R=, , , , , , S= ， RS=， SR=， R-1= R， S-1= ， r(S)=IA s(R) =, , , , , 3设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表示式； （2）画出关系R的哈斯图；（3）求出集合B的最大元、最小元解：（1）R=I, , , , , , , , , , , （2）关系R的哈斯图如下图所示12346578关系R的哈斯图 （3）集合B没有最大元，最小元是：2五、证明题 1试证明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)证：若xA (BC)，则xA或xBC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAB 且 xAC ，即 xT=(AB) (AC)，所以A (BC) (AB) (AC) 反之，若x(AB) (AC)，则xAB 且 xAC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBC，即xA (BC)，所以(AB) (AC) A (BC) 因此A (BC)=(AB) (AC)注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握想一想：等式A (BC)=(AB) (AC)如何证明？ 2对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C 证明：设xA，yB，则AB， 因为AB = AC，故 AC，则有yC， 所以B C 设xA，zC，则 AC， 因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB 故得B = C Ls1-25注意：这个