全国通用高考数学复习专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练习理.docx

专题五 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习 理一、选择题1.(2014全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若4，则|QF|等于()A. B. C.3 D.2解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.答案C2.(2015四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A. B.2 C.6 D.4解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，A(2，2)，B(2，2)，|AB|4.答案D3.已知A，B，P是双曲线1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(x1，y1)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPAkPB，所以e2，故e.答案D4.(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.答案D5.(2017湖州一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.解析依题意，得F(p，0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即610.所以e232，e1.答案B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为_.解析由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.由弦长公式|MN|xMxN|.答案7.过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案8.(2017郑州模拟)已知点A(2，0)，B(2，0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2y21相切，则该椭圆的标准方程是_.解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，由题意设椭圆方程为1(a24)，由直线l与圆x2y21相切，得1，解得k2.将代入，得(a23)x2a2xa44a20，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，又线段MN的中点到y轴的距离为，所以|x1x2|，即，解得a28.所以该椭圆的标准方程为1.答案1三、解答题9.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点.(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2 .当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.10.(2015四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，因此解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有1，即|QC|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0).当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，)，由，有，解得y01，或y02，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)，下面证明：对任意直线l，均有，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k，易知，点B关于y轴对称的点B的坐标为(x2，y2)，又kQAk，kQBkk，所以kQAkQB，即Q，A，B三点共线，所以，故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得恒成立.11.(2016四川卷)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.(1)解由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标