2017年中考数学专题复习开放性问题.docx

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016山东省滨州市14分）如图，已知抛物线y=x2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；函数及其图象【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（7，）或（5，），由此不难解决问题（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）令y=0得x2x+2=0，x2+2x8=0，x=4或2，点A坐标（2，0），点B坐标（4，0），令x=0，得y=2，点C坐标（0，2）（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，AB=EF=6，对称轴x=1，点E的横坐标为7或5，点E坐标（7，）或（5，），此时点F（1，），以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6=（3）如图所示，当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1NOC于N，在RTCM1N中，CN=，点M1坐标（1，2+），点M2坐标（1，2）当M3为顶点时，直线AC解析式为y=x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，点M3坐标为（1，1）当点A为顶点的等腰三角形不存在综上所述点M坐标为（1，1）或（1，2+）或（1.2）【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题变式训练1：（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由类型二： 结论开放型问题例题2：（2016湖北随州3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）8a+7b+2c0；（4）若点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2其中正确的结论有（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】二次函数图象与系数的关系（1）正确根据对称轴公式计算即可（2）错误，利用x=3时，y0，即可判断（3）正确由图象可知抛物线经过（1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断（4）错误利用函数图象即可判断（5）正确利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题【解答】解：（1）正确 =2，4a+b=0故正确（2）错误x=3时，y0，9a3b+c0，9a+c3b，故（2）错误（3）正确由图象可知抛物线经过（1，0）和（5，0），解得，8a+7b+2c=8a28a10a=30a，a0，8a+7b=2c0，故（3）正确（4）错误，点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（，y3），2=，2（）=，点C离对称轴的距离近，y3y2，a0，32，y1y2y1y2y3，故（4）错误（5）正确a0，（x+1）（x5）=3/a0，即（x+1）（x5）0，故x1或x5，故（5）正确正确的有三个，故选B变式训练2：（2016黑龙江齐齐哈尔3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3；3a+c0当y0时，x的取值范围是1x3当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个类型三： 解题策略开放型例题3：(2014 年湖北襄阳)如图 Z3-1，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBODCO；BECD；OBOC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。【解析】：(1)；.(2)选证明如下：EBODCO，EOBDOC，BECD，BOECOD(AAS)BOCO.OBCOCB.EBOOBCDCOOCB.即ABCACB.ABAC.ABC 是等腰三角形【点评】对题设信息进行全面分析，综合比较，判断优劣，从中得出适合题意的最佳方案。变式训练3：在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得C90，ACBC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC 的边上，且扇形的弧与ABC 的其他边相切.请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)【能力检测】1. （2016山东省济宁市3分）如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB2. （2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由3. （2016四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：yx23xm，直线l：ykx(k0)，当k1时，抛物线C与直线l只有一个公共点(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y3xb交于点P，且，求b的值；(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使SAPQSBPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由xyOl1QPBAl图15xyOl1QPBAl答案图CED4. （2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由5. （2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】变式训练1：（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则ABC的面积是不变的，过P作PMy轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于AGP=GNC+GCN，所以当AGB和NGC相似时，必有AGB=CGB=90，则可证得AOCNOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x22x3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x22x3中，令y=0可得0=x22x3，解得x=1或x=3，A点坐标为（1，0），AB=3（1）=4，且OC=3，SABC=ABOC=43=6，B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为y=x3，设P点坐标为（x，x22x3），则M点坐标为（x，x3），P点在第四限，PM=x3（x22x3）=x2+3x，SPBC=PMOH+PMHB=PM（OH+HB）=PMOB=PM，当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，PM=x2+3x=（x）2+，当x=时，PMmax=，则SPBC=，此时P点坐标为（，），S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=，即当P点坐标为（，）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGP=GNC+GCN，当AGB和NGC相似时，必有AGB=CGB，又AGB+CGB=180，AGB=CGB=90，ACO=OBN，在RtAON和RtNOB中RtAONRtNOB（ASA），ON=OA=1，N点坐标为（0，1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，直线m解析式为y=x1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x1【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大变式训练2：（2016黑龙江齐齐哈尔3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3；3a+c0当y0时，x的取值范围是1x3当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【解析】二次函数图象与系数的关系利用抛物线与x轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对进行判断；由对称轴方程得到b=2a，然后根据x=1时函数值为负数可得到3a+c0，则可对进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断【解答】解：抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=1，而点（1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3，所以正确；x=1，即b=2a，而x=1时，y0，即ab+c0，a+2a+c0，所以错误；抛物线与x轴的两点坐标为（1，0），（3，0），当1x3时，y0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，当x1时，y随x增大而增大，所以正确故选B变式训练3：在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料.现找出其中的一种，测得C90，ACBC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC 的边上，且扇形的弧与ABC 的其他边相切.请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径.(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)【解析】：由题意，考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出符合题意的方案示意图如图 所示四种方案： 半径分别是，。【点评】策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选择一个分类的标准，再进行讨论解题，做到不重不漏.【能力检测】1. （2016山东省济宁市3分）如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使AEHCEB【解析】全等三角形的判定开放型题型，根据垂直关系，可以判断AEH与CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【解答】解：ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，BEC=AEC=90，在RtAEH中，EAH=90AHE，又EAH=BAD，BAD=90AHE，在RtAEH和RtCDH中，CHD=AHE，EAH=DCH，EAH=90CHD=BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE2. （2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP，DAP=DCP，PA=PC，DAP=E，DCP=E，CFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=90；（3）在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），PA=PC，BAP=BCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP，PA=PC，DAP=E，DCP=ECFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=180ADC=180120=60，EPC是等边三角形，PC=CE，AP=CE；3. （2016四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：yx23xm，直线l：ykx(k0)，当k1时，抛物线C与直线l只有一个公共点(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y3xb交于点P，且，求b的值；(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使SAPQSBPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由xyOl1QPBAl图15xyOl1QPBAl答案图CED【解析】二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。【解答】：(1)当k1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，方程组有且只有一组解 消去y，得x24xm0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根0，即(4)24m0m4 (2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，则OACOPD，同理，22，即 解方程组得x，即PD由方程组消去y，得x2(k3)x40AC，BE是以上一元二次方程的两根，ACBEk3，ACBE4 解得b8(3)不存在理由如下： 假设存在，则当SAPQSBPQ时有APPB，于是PDACPEPD，即ACBE2PD由(2)可知ACBEk3，PD，k32，即(k3)216解得k1(舍去k7) 当k1时，A，B两点重合，QAB不存在不存在实数k使SAPQSBPQ 4. （2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解析】二次函数综合题（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标【解答】解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=，BC=3，MNx轴于点NABC=MNO=90，当ABC和MNO相似时有=或=，当=时，则有=，即|x|x+2|=|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；当=时，则有=，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得x=5或x=1，此时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解