全国通用高考数学复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点与定值最值与范围问题训练文.docx

专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题训练 文一、选择题1.(2016衡水中学模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.15解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案D2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为()A.B.C.D.解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案D3.(2016榆林模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A.(1，2) B.(1，2C.(1，) D.(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B4.已知椭圆1(0b2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则ABF的面积的最大值为()A.1 B.2 C.4 D.8解析不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|2b，SABF2bb2(当且仅当b24b2，即b22时取等号)，故ABF面积的最大值为2.答案B5.抛物线y28x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(2，0)，则的最大值为()A.1 B. C. D.2解析由点P(x，y)在抛物线y28x上，得y28x(x0).由抛物线的定义可得|PF|x2，又|PA|，所以.当x0时，1；当x0时，因为x24，当且仅当x，即x2时取等号，故x48，01，所以(1，.综上，1，.所以的最大值为.答案B二、填空题6.(2016平顶山模拟)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，得1e2.答案(1，27.若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_.解析可知e1，e1，所以ee22e1e20e1e21.答案(0，1)8.(2016合肥模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_.解析由e21，得，设M(x，y)，A(m，n)，B(m，n)，则k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案三、解答题9.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，)，又点A(1，)在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求ABC面积的最大值.解(1)由已知椭圆的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1，将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)0，可得m28，由x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|又点A到BC的距离为d.故SABC|BC|d.当且仅当2m2162m2，即m2时取等号(满足式)，所以ABC面积的最大值为.10.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围.(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，2，p4.抛物线C的方程为y28x.(2)证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则kPQ，又P、Q关于l对称.kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中点一定在l上，22p.线段PQ的中点坐标为(2p，p).解PQ的中点为(2p，p)，即即关于y的方程y22py4p24p0，有两个不等实根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范围为.11.(2016山东卷)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值.求直线AB的斜率的最小值.解(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4，2c2.所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y00).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，2m).所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.设A(x1，y1)，B(x2，y2).直线PA的方程为ykxm.直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x