全国通用高考数学复习专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系训练文.docx

专题五 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系训练 文一、选择题1.(2014全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若4，则|QF|等于()A. B. C.3 D.2解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.答案C2.(2015四川卷)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A. B.2 C.6 D.4解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，A(2，2)，B(2，2)，|AB|4.答案D3.已知A，B，P是双曲线1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(x1，y1)，因为A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPAkPB，所以e2，故e.答案D4.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.答案D5.(2016贵阳一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1 C.1 D.解析依题意，得F(p，0)，因为AFx轴，设A(p，y)，y0，y24p2，所以y2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以1.又因为cp，所以1，化简，得c46a2c2a40，即610.所以e232，e1.答案B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为_.解析由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.由弦长公式|MN|xMxN|.答案7.(2016南阳模拟)直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是_.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.答案28.过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案三、解答题9.已知抛物线C1 ：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点.C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率.解(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0，1).因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4，将，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.10.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点.(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2 .当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.11.(2016福州模拟)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二(1)解同法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(