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文档简介

专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列的基本问题练习一、选择题1.设等比数列an的前n项和为Sn,若Sm15,Sm11,Sm121,则m等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析由已知得SmSm1am16,Sm1Smam132,故公比q2,又Sm11,故a11,又ama1qm116,代入可求得m5.答案C2.(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.解析由a2,a4,a8成等比数列,得aa2a8,即(a16)2(a12)(a114),a12.Sn2n22nn2nn(n1).答案A3.(2015浙江卷)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40C.a1d0,dS40 D.a1d0,dS40解析a3,a4,a8成等比数列,(a13d)2(a12d)(a17d),整理得a1d,a1dd20,又S44a1d,dS40,故选B.答案B4.(2016福州二模)若a,b是函数f(x)x2pxq(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于()A.6 B.7 C.8 D.9解析由题意知:abp,abq,p0,q0,a0,b0.在a,b,2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,2;b,a,2;2,a,b;2,b,a;成等比数列的情况有:a,2,b;b,2,a.或解之得:或p5,q4,pq9,故选D.答案D5.(2016浙江卷)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn1|An1An2|,AnAn2,nN*,|BnBn1|Bn1Bn2|,BnBn2,nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn|AnBn|,Sn为AnBnBn1的面积,则()A.Sn是等差数列 B.S是等差数列C.dn是等差数列 D.d是等差数列解析由题意,过点A1,A2,A3,An,An1,分别作直线B1Bn1的垂线,高分别记为h1,h2,h3,hn,hn1,根据平行线的性质,得h1,h2,h3,hn,hn1,成等差数列,又Sn|BnBn1|hn,|BnBn1|为定值,所以Sn是等差数列,故选A.答案A二、填空题6.(2016全国卷)设等比数列满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为_.解析设等比数列an的公比为q,解得a1a2an,当n3或4时,取到最小值6,此时取到最大值26,所以a1a2an的最大值为64.答案647.数列an的前n项和为Sn,已知a1,且对任意正整数m,n,都有amnaman,若Snt恒成立,则实数t的最小值为_.解析令m1,可得an1an,所以an是首项为,公比为的等比数列,所以Sn,故实数t的最小值为.答案8.(2013新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为_.解析设数列an的首项和公差分别为a1,d,则则nSnnn2.设函数f(x)x2,则f(x)x2x,当x时,f(x)0;当x时,f(x)0,所以函数f(x)minf,但67,且f(6)48,f(7)49,因为4849,所以最小值为49.答案49三、解答题9.(2014新课标全国卷)已知数列an满足a11,an13an1,(1)证明an是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明.证明(1)由an13an1,得an13.又a1,所以an是首项为,公比为3的等比数列.an,因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时,3n123n1,所以.于是1.所以.10.数列an的前n项和为Sn,a11,且对任意正整数n,点(an1,Sn)在直线2xy20上.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意,可得2an1Sn20.当n2时,2anSn120.,得2an12anan0,所以(n2).因为a11,2a2a12,所以a2.所以an是首项为1,公比为的等比数列.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知,Sn2.若为等差数列,则S1,S22,S33成等差数列,则2S1S3,即21,解得2.又2时,Sn2n2n2,显然2n2成等差数列,故存在实数2,使得数列Snn成等差数列.11.(2015浙江卷)已知数列an满足a1且an1ana(nN*).(1) 证明:12(nN*);(2)设数列a的前n项和为Sn,证明:(nN*).证明(1)由题意得an1ana0,即an1an,故an.由an(

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