2017届高考数学复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课后作业理.docx

【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第六节 利用空间向量求空间角课后作业 理1如图，在四棱锥 PABCD中，PC底面 ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角 PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值2.如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60，侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，CD2，M为PB的中点(1)求证：PA平面CDM；(2)求二面角 DMCB的余弦值3(2015广东高考)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB. (1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值1(2015浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长3(2016黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC，ABC60，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转 90，得到梯形ABCD(如图)(1)求证：AC平面ABC；(2)求证：CN平面ADD；(3)求二面角ACNC的余弦值答 案1解：(1)证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ADC90，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC.又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)如图，以C为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)设P(0,0，a)(a0)，则E，取m(1，1,0)，则m为平面PAC的一个法向量即取 xa，ya，z2，则n(a，a，2)依题意，|cosm，n|，则a1. 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.2.解：(1)证明：法一：取PA的中点N，连接MN，DN，又M为PB的中点，所以MNAB，又菱形ABCD中，ABCD，所以MNCD，所以C，D，M，N四点共面取DC的中点为O，连接PO.因为侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，所以PO底面ABCD.因为底面ABCD为菱形且ADC60，DC2，DO1，故OADC.因为POAOO，所以DC平面POA，所以DCPA，在PAD中，PDAD2，N为PA的中点，所以DNPA.又DNDCD，DN平面CDNM，DC平面CDNM，所以PA平面CDNM，即PA平面CDM.法二：取DC的中点为O，连接PO，OA，因为侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD.所以PO底面ABCD，因为底面ABCD为菱形且ADC60.DC2，DO1，有OADC.以O 原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(，0,0)，P(0,0，)，B(，2,0)，C(0，1,0)，D(0，1,0)，所以 M， 观察可知二面角 DMCB为钝角，所以所求二面角的余弦值是.3解：法一：(1)证明：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.又FG平面ABCD，PEFG.(2)由(1)知PE平面ABCD，且AD平面ABCD，PEAD.又四边形ABCD是长方形，ADCD.又PECDE，AD平面PCD，ADPD，PDE为二面角PADC的平面角ABCD6，DE3.在RtPED中，PE ，tanPDE，所求二面角PADC的正切值为.(3)如图，连接AC，在ABC中，AF2FB，CG2GB，FGAC.由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在RtPDA中，PA5，AC3，PC4，cosPAC，直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.取AB的中点H，连接EH.四边形ABCD是长方形，EHCD.如图，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0,0,0)，P(0,0，)，F(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3，0)，D(0，3,0) (2)PE平面ABCD，即令z13，则x10，y1，n(0，3)由图可知二面角PADC是锐角，设为，则sin ，tan . 1解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，DE，A1E.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A，DEA1A，所以四边形A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC. (2)法一：如图，作A1FBD且A1FBDF，连接B1F. 由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4.由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二面角A1BDB1的平面角由A1D，A1B4，DA1B90，得BD3，A1FB1F，由余弦定理得cosA1FB1.法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2)可取n(，0,1)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为.2.解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2) 设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为. 当且仅当t，即时，的最大值为.因为ycos x在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.3解：(1)证明：ADBC，N是BC的中点，ADNC，又ADBC，四边形ANCD是平行四边形，ANDC，又ABC60，ABBNAD，四边形ANCD是菱形，ACBDCB30，BAC90，即ACAB，又平面CBA平面ABC，平面CBA平面ABCAB，AC平面ABC.(2)证明：ADBC，ADBC，ADADA，BCBCB，平面ADD平面BCC，又CN平面BCC，CN平面ADD.(3)AC平面ABC，AC平面ABC，如图建立空间直角坐标系，设AB1